考点 03 函数及其表示 【命题解读】 1.了解函数、映射的概念. 2.了解函数的定义域、值域及三种表示法（解析法、图象法和列表法）. 3.了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 【命题预测】 函数及其表示是高考必考知识点，常以选择题或填空题的形式出现，预计 2021 年高考仍以选题的形式呈现. 【复习建议】 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 （1）函数与映射的概念 函数 两个集合 A、B 对应关系 名称 映射 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 按照某种确定的对应关系 f，使对于集 按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 有唯一确定的数 f(x)和它对应 唯一确定的元素 y 与之对应 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 个函数 映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意 一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． （2）函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （3）构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. （4）函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2．必记结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ① 两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域 和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ② 函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如： f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝ 2m−1 均表示相等函数. (2)映射的个数 m 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 n 个． 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sinx，y＝cosx 的定义域均为 R. (6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞). x �k } (7)y＝tanx 的定义域为 {x |π, π k �Z . 2 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不 注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数 y＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R. (2)反比例函数 y  k (k 为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． x (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数且 a≠0)， 当 a>0 时，二次函数的值域为 [ 4ac  b 2 , �) ； 4a 当 a<0 时，二次函数的值域为 ( �, 4ac  b 2 ]. 4a 求二次函数的值域时，应掌握配方法： y  ax  bx  c  a ( x  2 b 2 4ac  b 2 )  . 2a 4a (4)y＝sinx 的值域为[−1,1]． 三、分段函数 1．分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分 段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．必记结论 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 考向一 求函数的定义域 在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ① 若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出． ② 若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函 数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ∪” 连接. 典例 1 函数 f  x   �1 � 1 4  x2  ln  2 x  1 的定义域为 �1 �2 � �  , 2� A． � 2 � �  ,2� B． � �1 � , 2� �2 � �1 � ,2� �2 �  C． �  D． � 【答案】D � 4  x2  0 1  ln  2 x  1 有意义，需满足 � 【解析】要使函数 f  x   ，解得   x  2 ，即函数 2 2 x  1  0 4 x � 2 1 f  x  1 1 �  ln  2 x  1 的定义域为 �  ,2� ，故选 D． � 4 x �2 � 2 �x � f � � 典例 2 设函数 f  x   x  1 ，则 �2 � �4 � f �� �x �的定义域为 1 � � ,4 � A． � 2 � � B．  2, 4 C．  1, � 1 � � ,2 � 4 � � D． � 【答案】B 【解析】由题意，函数 f  x   x  1 满足 x  1≥ 0 ，即 x �1 ， �x � �4 � 4 x f � � f � � �1 �1 所以函数 �2 � �x � 满足 2 且x ，解得 2 �x �4 ， �x � f � � 即函数 �2 � �4 � f�� �x �的定义域为  2, 4 ， 故选 B． 【名师点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的概念，合理列出 不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．解答本题时，由函数 f  x   得 x �1 �x � �2 � �4 � �x �  f � �，得到 ，再由函数 f � � x 1 解 4 x �1 且 �1 ，即可求解． 2 x 考向二 求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法： 由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 1 x 已知关于 f(x)与 f ( ) 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方 程求出 f(x). f 典例 3 若一次函数 f  x  满足  f  x    x  4 ，则 f  1  ______． 【答案】1 【解析】因为 则 f  x 是一次函数，故可设 f  x   kx  b ， f  f  x    f  kx  b   k  kx  b   b  k 2 x  kb  b  x  4 ， � k2 1 k 1 � � � 所以 kb  b  4 ，解得 b  2 ， � � 所以 f  x  x  2 所以 f  1  1 ， . 故答案为 1. 【名师点睛】本题考查了函数解析式的求法，在已知函数名称时常采用待定系数法求解.解答本题时，先用 待定系数法求出一次函数 f  x 的解析式，然后代入求出 f  1 . 考向三 分段函数 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考 的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性 质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性： 利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解. log 2 x, x  0 � 典例 1 已知函数 f  x   � x 10 , x �0 � 1 3 ，则 f  8   f (lg ) 等于 A．8 B．10 C．6 D． 1 3 【答案】C 1  lg 1 1 3 f (lg )  10  10lg3  3 ， f  8   f (lg )  6 ，故选 C. 【解析】Q f  8   log 8  3 ， 2 3 3 � e  x , x �0 � 典例 2 已知函数 f  x   � 2 ，若 ，则实数 的取值范围是 f  a  1 �f  a  � x  2 x  1, x  0 a � � 1� 1 � 2 � �, � A．