求轨迹方程 考向一 直接法求轨迹方程 1、动点 P 到点 A(6, 0) 的距离是到点 B (2, 0) 的距离的 2 倍，则动点 P ( 的轨迹方程为 　　 ) A． C． ( x  2) 2  y 2  32 ( x  1)2  y 2  16 【分析】设 P 为 ( x, y ) B． D． x 2  y 2  16 x 2  (1) 2  16 ，依据题中条件动点 P 到点 A(6,0) 的距离是到点 B (2,0) 的距离的 2 倍，列出关于 x ， y 的方程式，化简即可得点 P 的轨迹方程． 【解答】解：设 P( x, y) ，则由题意可得： 化简整理得 ( x  2) 2  y 2  32 ( x  6) 2  y 2  2 ( x  2) 2  y 2 ， ． 故选： A ． 【点评】求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标 化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐 标化，列出等式化简即得动点轨迹方程． 2．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262 ~ 公元前 190 年）的著作《圆锥曲线论》是 古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k (k  0, k �1) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中， | MA | 2 设 A(3,0) ， B(3,0) ，动点 M 满足 | MB | ，则动点 M 的轨迹方程为 ( 　　 ) A． ( x  5) 2  y 2  16 B． x 2  ( y  5)2  9 C． ( x  5)2  y 2  16 【分析】设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可． D． x 2  ( y  5)2  9 | MA | 2 【解答】解：设 M ( x, y ) ，由 | MB | ， ( x  3) 2  y 2 4 2 2 2 2 2 2 得 ( x  3)  y ，可得： ( x  3)  y  4( x  3)  4 y ， 即 x 2  10 x  y 2  9  0 故动点 M 的轨迹方程为 ( x  5) 2  y 2  16 ． 故选： A ． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查． 3、已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：直角顶点 C 的轨迹方程； 【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 【解析】方法一　设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0. 因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kAC·kBC＝－1， 又 kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 方法二　设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知 CD＝AB＝ 2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共 线，所以应除去与 x 轴的交点)． 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． 4、已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． 解　(1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 考向二 定义法求轨迹方程 1、设圆 x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 的圆⼼为 A，点 P 在圆上，求 PA 的中点 M 的轨迹⽅程 答案：(x − 2)2 + (y + 1)2 = 4 2、已知 BC 是圆 x2 + y2 = 25 的弦，且|BC| = 6，则 BC 的中点 M 的轨迹⽅程是 【分析】第一步：利用垂径定理可得中点 M (0, 0) 到圆心的距离为定值 ; 第二步：利用圆的定义得 M 的轨迹方程:x2 + y2 = 16 3、已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1 的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程． 解：(1)把圆 C1 的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4， ∴圆 C1 的圆心坐标为 C1(3,0)． (2)设 M(x，y)，∵A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴MC1·MO＝0. 又∵MC1＝(3－x，－y)，MO＝(－x，－y)， ∴x2－3x＋y2＝0. 易知直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y＝mx， 当直线 l 与圆 C1 相切时， 圆心到直线 l 的距离 d＝＝2， 解得 m＝±. 把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得 9x2－30x＋25＝0，解得 x＝. 当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点， ∴<x≤3. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－3x＋y2＝0，其中<x≤3，其轨迹为一段圆弧． 考向三 相关点法求轨迹方程 1、已知圆 (O C : ( x  2)2  y 2  4 ，点 P 在圆 C 上运动，则 OP 的中点 M 的轨迹方程　 　． 为坐标原点） 【分析】根据题意，设 M 的坐标为 ( x, y ) ，分析可得 P 的坐标为 (2 x, 2 y ) ，又由 P 在圆 C : ( x  2) 2  y 2  4 上运动，则有 【解答】解：根据题意，设 又由点 P 在圆 则有 M ，即 ( x  1)2  y 2  1 ( x, y ) ， M ，变形可得答案． 为 OP 的中点，则 P 的坐标为 (2 x, 2 y ) ， 上运动， ( x  1)2  y 2  1 则 OP 的中点 M 的轨迹方程为 故答案为： 的坐标为 C : ( x  2) 2  y 2  4 (2 x  2)2  (2 y )2  4 (2 x  2)2  (2 y )2  4 ； ( x  1)2  y 2  1 ； ． 【点评】本题考查与圆有关的轨迹计算，涉及中点坐标的计算公式，属于基础题． 2、已知直线 Ax  By  4 A  0 轨迹方程为　 与圆 O : x 2  y 2  36 交于 M ， N 两点，则线段 MN 中点 G 的 　． 【分析】由直线方程可得直线所过定点，设 M ( x1 ， y1 ) ， N ( x2 ， y2 ) ， G ( x, y ) ，把 的坐标代入圆的方程，作差后利用斜率相等列式求得线段 MN 中点 G 的轨迹方程． 【解答】解：直线 设 则 M ( x1 ， y1 ) ， x12  y12  36 N ( x2 ， 两式相减，得到 Ax  By  4 A  0 ， y2 ) ， 过定点 G ( x, y ) x2 2  y2 2  36 (4,0) ， ， ． ( x1  x2 )( x1  x2 )  ( y1  y2 )( y1  y2 )  0 ， y1  y2 x x 2x x  1 2   y1  y2 2y y， 即 x1  x2 y1  y2 y  0 y x   x  x x  4 x  4 y ，即 ( x  2) 2  y 2  4 ． 又 1 2 ， M ， N 故答案为： ( x  2) 2  y 2  4 ． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用点差法求与弦中点有关的问题，是中档题． 3、已知 M 是圆 C : x2  y 2  1 上的动点，点 N (2, 0) ( ) ，则 MN 的中点 P 的轨迹方程是 　 2 2 A． ( x  1)  y  1 4 2 2 B． ( x  1)  y  2 2 C． ( x  1)  y  1 2 D． D 1 2 2 2 、 ( x  1)  y  1 4 【分析】设出线段 MN 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 M 的坐标，根据 M 在圆上， 得到轨迹方程． 【解答】解：设线段 MN 中点 P ( x, y ) ，则 M (2 x  2, 2 y ) ． 2 2 Q M 在圆 C : x  y  1 上运动，  (2 x  2) 2  (2 y )2  1 ，即 ( x  1) 2  y 2  1 ． 4 故选： A ． 【点评】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础 题． 4、点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【答案】　A 解析　设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则解得因为点 Q 在圆 x2＋y2＝4 上，所以 x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 5、已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程． 【解析】设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是