湖南师大附中 2021 届模拟试卷(三) 数学 一 ､ 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A.   ， B   x∣ x  2x  3  0 ，则 A I B  （ A  x∣ y  2 x  1  0,3 B. 2  0,3 C. ）  0,3 D.  0,3 【答案】B 2z  2. 已知 z 在复平面内对应的点的坐标为  2, 1 ，则 z  1 （ A. 3i B. 1  3i C. ） 1 i D. 2i 【答案】A 3. 若 m 的（ n ， 是两条不同的直线，  ，  是两个不同的平面，且 m  ， n � ，则“ m //n ”是“  ” ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4. 2020 年 1 月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计 划”），明确从 2020 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率 4 3 3 , , 分别为 5 4 4 ，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ） 21 A. 80 【答案】C 27 B. 80 33 C. 80 27 D. 40 x2 y 2   1 b  0  5. 已知双曲线 C: 4 b 2 ，以 C 的焦点为圆心，3 为半径的圆与 C 的渐近线相交，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） 3 13 A. (1， 2 ) 3 B. (1， 2 ) 13 C. ( 2 ， 2 ) D. (1， 13 ) 【答案】B an  2 an 1  d 6. 定义：在数列  an  中，若满足 an 1 ( n �N* ，d 为常数)，称  an  为“等差比数列”，已知在 an a2021 “等差比数列”  an  中， a1  a2  1 ， a3  3 ，则 a2019 等于（ ） A. 4 �2017 2  1 B. 4 �20182  1 C. 4 �2019 2  1 D. 4 �2020 2  1 【答案】C 7. 已知 VABC 中， �ABC  �ACB  45o ， BC  12 ，点 M 是线段 BC 上靠近点 B 的三等分点，点 N uuur uuur AN � CN 的最小值为（ ） AM 在线段 上，则 A. C.  36 5  18 5 B. D.  72 5  54 5 【答案】C � 17 � � 25 � 3x  2  , 2 �U � 2, � g x    � 8. 已知函数 f  x   tan  x  2   3 ， x  2 .若 f  x  与 g  x  的图象在区间 � 2 � � 2 � 上的交点分别为 值为（ A. � � ,  x6 , y6  ,  x7 , y7  ,  x8 , y8  x  x2  � � �  x8  y1  y2  � � �  y8 的  x1 , y1  ,  x2 , y2  , � ，则 1 ） 20 B. 30 C. 40 D. 42 【答案】C 二 ､ 多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9. 某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取 50 名学生的思想 政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在 作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（  80,90  的学生人数为 15，把频率看 ） A. a  0.03 B. b  0.034 C. 本次思想政治考试平均分为 80 D. 从高三学生中随机抽取 4 人，其中 3 人成绩在  90,100 内的概率为 C4  0.16  3 3  1  0.16  【答案】ABD � � f ( x)  sin � 2x  � 10. 设函数 图象为曲线 E ，则（ ） 3� 的 �  A. 将曲线 y  sin 2 x 向右平移 3 个单位长度，与曲线 E 重合 � � 1 y  sin �x  � B. 将曲线 � 3 �上各点的横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，与曲线 E 重合 � �  ,0� C. � � 12 �是曲线 E 的一个对称中心  D. 若 x1 �x2 ，且 f  x1   f  x2   0 ，则 x1  x2 的最小值为 2 【答案】BD 11. 如图，正三棱柱 段 CC1 A. 在 ABC  A1 B1C1 各棱的长度均相等， D 为 上的动点（含端点），且满足 VDMN 内总存在与平面 ABC BM  C1 N AA1 的中点， M 、 N 分别是线段 ，当 M 、 N 运动时，下列结论中正确的是（ BB1 和线 ） 平行的线段 BCC1B1 B. 平面 DMN  平面 C. 三棱锥 D. A1  DMN VDMN 的体积为定值 可能为直角三角形 【答案】ABC 12. 已知抛物线 的圆交 y 轴于 y 2  2 px( p  0) M,N A. 若抛物线上的点 B. 以 AB 为直径 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 交抛物线于 两点，设线段 E (2, t ) AB 的中点为 P ，则下列说法正确的是（ ） 到点 F 的距离为 4 ，则抛物线的方程为 圆与准线相切 的 C. 线段 AB 长度的最小值是 2p A, B y2  4x 两点，以线段 AB 为直径 D. 1 [ ,1) sin�PMN 的取值范围为 2 【答案】BCD 三 ､ 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函数 【答案】 14. f ( x )  x  2e x 在 x  0 处的切线方程为___________. 3x  y  2  0  x  2   x  1 4 3 的展开式中项 x 的系数为___________ 【答案】14 15. 某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是 AB � BB1 �L ABCD  A1 B1C1D1 AA1 � A1 D1 �L 的顶点 A 出发沿棱向前爬行， ，黄“电子狗”爬行的路线是 ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i  2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是 正整数).设黑“电子狗”爬完 2021 段､黄“电子狗”爬完 2020 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄 “电子狗”间的距离是___________. 【答案】 3 16. 设 s，t 是不相等的两个正数，且 s  sin t  t  t ln s ，则 s  t  st 的取值范围为___________. 【答案】 (1, �) 四 ､ 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤 . 17. 若数列  an  的前 n 项和 Sn  2an  2 ， n �N* . （1）求数列 （2）若  an  的通项公式； bn  log 2 a2 n 1 ( n �N* ) ，求数列  anbn  的前 n 项和 Tn . n 【答案】（1） an  2 ；（2） Tn  (2n  3) � 2n 1  6 . 18. 如图，长方体 DE  ABCD  A1 B1C1 D1 中，底面 ABCD 是正方形， AA1  2 AB  2 ，E 是 DD1 上的一点且 1 2. （1）求证：平面 A1 B1 D  平面 AEC； （2）求直线 A1D 与平面 AEC 所成角 正弦值. 的 30 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 . 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 P ，已知射线 AB ， AC 为两边夹角为 120�的公路（长度均超过 3 千米），在两条公路 AB ， AC 上分别设立游客上 下点 M ， N ，从观景台 P 到 M ， N 建造两条观光线路 PM ， PN ，测得 米． （1）求线段 MN 的 长度； AM  3 千米， AN  3 千 （2）若 �MPN  60� PM ，求两条观光线路 PN 与 之和的最大值． 【答案】（1）3；（2）6. 20. 某工厂引进新的生产设备 M，为对其进行评估，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件 作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/ mm 件数 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值   65 ，标准差   2.2 ，以频率值作为概率的估计值. （1）为评估设备 M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量 y 和原料中的该材料含量 x 之间的 相关关系，现取了 8 对观测值，求 y 与 x 的线性回归方程. 附：①对于一组数据 ˆ a  x1, y1  ,  x2 , y2  ,  x3 , y3  ,L ,  xn , yn  ，其回归直线 yˆˆ bx 的斜率和截距的最小 n 二乘法估计公式分别为 bˆ  �x y  nx y i i 1 n �x i 1 8 �xi2  478 i 1 8 ， �x y i 1 i i i  1849 2 i  nx 2 ， ；②参考数据： ˆ aˆˆ y  bx 8