2020-2021 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）期末数 学试卷 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x| ≤0}，则用韦思图表示它们之间的关系正确的 是（　　） A． B． C． D． 2．电影《你好，李焕英》于 2021 年 2 月 12 日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票 房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市 3 个区按 人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若 3 个区人口数之比为 2：3：4，且人口最少 的一个区抽出 100 人，则这个样本的容量等于（　　） A．400 B．450 C．500 D．550 3．如图，在△ ABC 中，D 为线段 BC 上异于 B，C 的任意一点， E 为 AD 的中点，若 ，则 λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 4．“a＝1”是“直线（a+1）x+（a2﹣1）y+3＝0 的斜率不存在”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为 4，圆柱底面直径为 2，则圆柱的侧面积为（　　） A．2 π B．4 π C．8 π D．16 π 6．在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的点 B（x2，y2） 都在单位图 O 上，∠AOx＝α，∠AOB＝θ，其中 sinθ＝ ，cosθ＝ ，若 y2＝ ，则 x1 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线 x2＝6y 的弦 AB 的中点的纵坐标为 4，则|AB|的最大值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知 f（x）＝x|x|，对任意的 x∈R，f（ax2+4）﹣2f（x）≥0 恒成立，则实数 a 的最小值 是（　　） A． B． 二、多项选择题（共 4 小题）. C． D． 9．下列命题中真命题的是（　　） A．平行于同一平面的两直线平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面垂直 10．复数 z＝1+2i（i 为虚数单位）， 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是（　　） A．z• ＝5 B． 的虚部为﹣2i C．复数 z 是方程 x2﹣2x+5＝0 的一个虚根 D．若复数 z1 满足|z1|＝1，则|z﹣z1|max＝ +1 ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 11．已知双曲线 C： ，右顶点为 A，以 A 为圆 心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，则有 （　　） A．渐近线方程为 y＝± x C．∠MAN＝60° B．渐近线方程为 y＝± x D．∠MAN＝120° 12．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学 普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的 求和问题．现有 100 根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断 面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多 1 根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 三、填空题（共 4 小题）. 13．函数 y＝ + 的最小值为　 　． 14．东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、 丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件 A 为“甲独自选修一门课程”，B 为“三人选 修的课程都不同”，则概率 P（B|A）＝　 　． 15．请你举出与曲线 f（x）＝sin2x 在原点（0，0）处具有相同切线的一个函数：　 　． 16．在△ABC 中，已知 AC＝1，∠A 的平分线交 BC 于 D，且 AD＝1，BD＝ ，则△ABC 的面积为　 　． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。 17．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为线段 DD1，BD 的中 点． （1）求异面直线 EF 与 BC 所成的角； （2）求三棱锥 C﹣B1D1F 的体积． 18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2an＝Sn+2． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：n≥5（n∈N*）时，不等式 an＞n2． 19．已知函数 f（x）＝cosx（2 sinx+cosx）﹣sin2x． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间和最小正周期； （Ⅱ）若当 时，关于 x 的不等式 f（x）≥m ______，求实数 m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 20．某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格．从中随机抽测 100 个零件的长度 d（单 位 ： mm ） ． 该 样 本 数 据 分 组 如 下 ： [57 ， 58] ， [58 ， 59] ， [59 ， 60] ， [60 ， 61] ， [61，62]，[62，63]．得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中 d 大于 61 的零 件 有 13 个 ， 长 度 分 别 61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6． 为 （1）求频率分布直方图中 a，b，c 的值及该样本的平均长度 （结果精确到 1mm，同一 组数据用该区间的中点值作代表）； （2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取 3 个， 记 ξ 为抽取的零件长度在（59，61]的个数，求 ξ 的分布列和数学期望； （3）若变量 x 满足|P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）﹣0.6826|＜0.03，且|P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣ 0.9544|≤0.03．则称变量 X 满足近似于正态分布 N（μ，σ2）的概率分布．如果这批样本 的长度 d 满足近似于正态分布 N（ ，12）的概率分布，则认为这批零件是合格的，将 顺利出厂；否则不能出厂，请问，能否让该批零件出厂？ 21．设椭圆 C： （a＞b＞0）的离心率 ，过椭圆 C 上一点 P（2，3）作两条 不重合且倾斜角互补的直线 PA、PB 分别与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB 中点为 M． （Ⅰ）求椭圆 C 方程． （Ⅱ）椭圆 C 上是否存在不同于 P 的定点 N，使得△MNP 的面积为定值，如果存在，求 定点 N 的坐标；如果不存在，说明理由． 22．已知函数 ， ． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 k＝1 时，求解关于 x 的不等式：g（x）≥f（x）． 参考答案 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x| ≤0}，则用韦思图表示它们之间的关系正确的 是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出集合 B，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项． 解：因为集合 B＝{x| ≤0}， 所以 B＝{x|﹣1＜x≤3}，又集合 A＝{x|﹣1≤x≤3}， 所以 B⫋A，根据韦恩图可得选项 C 正确， 故选：C． 2．电影《你好，李焕英》于 2021 年 2 月 12 日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票 房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市 3 个区按 人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若 3 个区人口数之比为 2：3：4，且人口最少 的一个区抽出 100 人，则这个样本的容量等于（　　） A．400 B．450 C．500 【分析】这个样本的容量为 n，则 D．550 ，由此能求出这个样本的容量． 解：从某市 3 个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本． 3 个区人口数之比为 2：3：4，且人口最少的一个区抽出 100 人， 设这个样本的容量为 n， 则 ， 解得 n＝450． ∴这个样本的容量等于 450． 故选：B． 3．如图，在△ ABC 中，D 为线段 BC 上异于 B，C 的任意一点， E 为 AD 的中点，若 ，则 λ+μ＝（　　） A． B． 【分析】由题意得， ＝2 C． ＝2 ，结合 B，D，C 三点共线及向量共线定 +2 理有求出 λ+μ 的值． 解：因为 E 为 AD 中点，且 则 ＝2 ＝2 +2 ， ， 由题意得，B，D，C 三点共线， 所以 2λ+2μ＝1 即 λ+μ＝ ． 故选：B． D． 4．“a＝1”是“直线（a+1）x+（a2﹣1）y+3＝0 的斜率不存在”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直线（a+1）x+（a2﹣1）y+3＝0 的斜率不存在，则 a2﹣1＝0，a+1≠0，解得 a，即可判断出结论． 解：直线（a+1）x+（a2﹣1）y+3＝0 的斜率不存在，则 a2﹣1＝0，a+1≠0， 解得 a＝1． ∴“a＝1”是“直线（a+1）x+（a2﹣1）y+3＝0 的斜率不存在”的充要条件， 故选：C． 5．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为 4，圆柱底面直径为 2，则圆柱的侧面积为（　　） A．2 π B．4 π 【分析】由题意结合勾股定理，可得 C．8 h＝ π D．16 π ，求出圆柱的高，再由圆柱侧面积 公式求解即可． 解：设圆柱的高为 h，球的半径为 R，圆柱底面半径为 r， 根据题意，R＝2，r＝1， 根据勾股定理，可得 h＝ ∴h＝2 ， ． ∴S 侧＝2πrh＝2π×1× ＝4 π． 故选：B． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的点 B（x2，y2） 都在单位图 O 上，∠AOx＝α，∠AOB＝θ，其中 sinθ＝ ，cosθ＝ ，若 y2＝ ，则 x1 的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，计算求得 x1 的值 解：∵第一象限内的点 A（x1，y1）和第二象限内的点 B（x2，y2）都在单位圆 O 上， ∠AOx＝α，∠AOB＝θ，其中 sinθ＝ ，cosθ＝ ，若 y2 ＝ ＞0， sinα＝ ∴y2＝ ∴ ，则 x1 ＝cosα＞0，y1 ＝ ＝sin（θ+α）＝sinθcosα+cosθsinα＝ •x1+ ﹣ •