2021 年新高考高中数学压轴题热点训练专题 导数与三角函数综合大题专项训练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1.已知函数 f  x   sin 2 x sin 2 x （1）讨论 f  x 在区间 .  0π，  的单调性； 3 3 f  x � 8 ； （2）证明： 3n 2 2 2 2 n sin x sin 2 x sin 4 x L sin 2 x �  4n . （3）设 n �N ，证明： x 2.已知 f ( x)  e  ax  sin x . 2 2 （1）若函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 的切线与圆 x  y  1 相切，求实数 a 的值. （2）已知 g ( x )  ln( x  1)  1 ，当 x �0 时 f ( x ) �g ( x ) ，求实数 a 的取值范围. 已知函数 1.当 时,求 2.当 时,讨论 的单调区间; 的零点个数. x 4.已知函数 f ( x)  x  a sin x  b, g ( x)  e  x  f ( x ) （1）若 b  0, a  2 ，求 f  x  在区间  0, 2π  上的单调区间； （2）若 a  1, b  1 ，证明： x � 1, 0  时恒有 g ( x)  0 x 5.已知 f ( x)  e  ax  sin x . 2 2 (1)已知函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 的切线与圆 x  y  1 相切,求实数 a 的值. (2)当 x �0 时, f ( x) �1 ,求实数 a 的取值范围. ( x) 是函数 f  x  的导数. 6.设函数 f ( x)  x(2  cos x)  sin x, f � � π π�  , �上没有零点； （1）证明 f �  x  在区间 � � 2 2� （2）证明：在 x � 0, � 上， f  x   0 . 7.已知函数 f ( x )  tan x  ax, a �R .  0, f (0)  处的切线方程. (1)当 a  1 时,求曲线 y  f ( x) 在点 � π� x �� 0, � � 2 �时, f ( x)   sin x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)当  x  是函数 f  x  的导数. 8.设函数 f  x   ax  2  cos x   sin x, f � (1)若 � ππ �  , �上没有零点； ,证明 f � 在区间 � x   � 2 2� a 1 (2)在 x � 0, � 上 f  x   0 恒成立，求 a 的取值范围. 9.已知函数 f  x   ae x  cos x  a �R  . (1)若函数 f  x  ( , 0) 在 2 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a  1 时, x0 为函数 f  x 在  0,π  上的零点,求证: π1  x0  x 2 e 0  sin x0  cos x0  . x x 10.已知函数 f ( x)  ae  e  ( a  1) x, g  x    a  1 cosx . (1)当 a  0 时,直线 y  kx 与函数 f  x  的图象相切,求 k 的值; (2)若 f  x  �g  x  在  0, � 上恒成立,求 a 的取值范围. 11.已知函数 f ( x )  x  2sin x . (1)当 x �[0, 2π] 时,求 f ( x ) 的最小值; cos x ,求实数 a 的取值范围. (2)若 x �[0,π] 时, f ( x) �(1  a) x  x � x 12.设函数 f ( x)  e cos x, g ( x) 为 f ( x ) 的导数. (1)求 f ( x ) 的单调区间; ππ � � �π � x �� , � f ( x)  g ( x) �  x ��0 4 2 �时,证明: � �2 � ; (2)当 ππ � � 2π, n 2π  n  � � x u ( x )  f ( x )  1 4 2 �内的零点,其中 n �N ,证明 (3)设 n 为函数 在区间 � 2πn  2πn πe  xn  2 sin x0  cos x0 . 13.设函数 f ( x)  ax  (2  cos x)  sin x ， f '( x) 是函数 f ( x ) 的导数． （1）若 � ππ �  , �上没有零点； ，证明： f '( x) 在区间 � � 2 2� a 1 （2）在 x �(0, �) 上 f ( x )  0 恒成立，求 a 的取值范围． 14.已知函数 f ( x )  ax  sin x  a �R  � π� 0, �时， （1）当 x �� f ( x )  0 恒成立，求正实数 a 的取值范围； � 6� （2）当 a �1 时，探索函数 F ( x)  f ( x)  cos x  a  1 在  0,π  上的零点个数，并说明理由。 15.已知函数 f ( x )  x  sin x . （1）求曲线 y  f ( x) 在点 (π, f (π)) 处的切线方程. （2）证明：当 x �(0,π) 时， 6 f ( x )  x . 3 1� � f ( x)  ax 2 � ln x  � x ln x  1 2� � 16.已知函数 . (1)若 a e 2 ,讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 a  1, x �1 ,求证: 17.已知函数 f ( x)  3 2 x  2 x  1  sin x 2 . f ( x)  ax  ln x  1, g ( x )  | sin x | ( x  0) x . （1）讨论函数 f ( x ) 的零点个数； x （2）令 f ( x)  0 ，求证： g ( x )  e  a 恒成立. 18.已知函数 f ( x)  2ln 2 x  m2 m(sin 2 x  1)  3 , g ( x)  x x . （1）若函数 f ( x ) 存在唯一的极小值点，求实数 m 的取值范围； （2）证明：当 0�m�1 时， f ( x )  g ( x ) . x 19.设函数 f ( x)  e  a sin x  b . （1）当 a  1 ， x �[0, �) 时， f ( x ) �0 恒成立，求实数 b 的取值范围； （2）若 f ( x ) 在 处的切线为 x  y  1  0 ，且方程 f ( x )  x0 m  2x 恰有两解，求实数 m 的取值范 x 围. x 20.已知函数 f ( x )  ae  sin x ，其中 a �R,e 为自然对数的底数. (1).当 a  1 时，证明：对 x �[0, �), f ( x) �1 ； π (0, ) (2).若函数 f ( x ) 在 2 上存在极值，求实数 a 的取值范围。 ax 21.已知函数 f ( x)  e sin x . ππ � � ， 上存在单调递增区间,求实数 的取值范围； （1）若 f ( x ) 在 x �� a 6 3� � � （2）设 � π� 0, �,恒有 ,若 x �� f ( x) �bx 成立,求 b  e 2 a 的最小值. � 2� a �1 π π 22.已知函数 f ( x)  x sin x  a cos x 且 f ( x ) 在 x  处的切线的斜率为 . 3 6 � ππ �  , �上的单调性； （1）求 a 的值，并讨论 f ( x ) 在 � � 2 2� （2）设 g ( x ) ln(mx  1)  � π� 1 x 0, �使得 , x �0, m  0 若对任意 x � 0, � ,总存在 x2 ��   g ( x1 ) �f ( x2 ) � 2� 1 1 x 成立，求 m 的取值范围. x x 23.函 f ( x)  e  x  1, g ( x )  e ( ax  x cos x  1) . （1）求函数 f ( x ) 的极值; （2）若 a  1 ,证明:当 x �(0,1) 时, g ( x )  1 . 24.已知函数 f  x   π-sin x x （1）判断函数 f  x  在  0, 2π  上的单调性； （2）若 0π a  ，求证:当 x � 0,π  时， f  x   a ln 1 x 25.已知函数 f ( x)  sin x  ax . (1).对于 x �(0,1), f ( x)  0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2).当 a  1 时,令 h( x )  f ( x)  sin x  ln x  1, 求 h( x) 的最大值; (3).求证: ln( n  1)  1  1 1 1 1  L   (n �N* ) 2 3 n 1 n 参考答案 � π� �π2π � 0, �时， x �� , �时， 1.答案：（1）当 x �� f '  x   0, f  x  单调递增，当 f '  x   0, f  x  � 3� �3 3 � 2π � � ,π �时， 单调递减，当 x �� f '  x   0, f  x  单调递增. �3 � （2）证明见解析； （3）证明见解析. � � 解析：（1） f ( x)  cos x(sin x sin 2 x)  sin x(sin x sin 2 x)  2sin x cos x sin 2 x  2sin 2 x cos 2 x  2sin x sin 3x . � π2π �� � �π2π � x �� 0, �U � ,π � x �� , � � � � 3 � �