易错点 13 概率与统计 易错点 1：两个计数原理 ① 排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理；故理解“分类用加、分步用乘”是解决排 列组合问题的前提. ② 在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的 是组合. ③ 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。 ④在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。 易错点 2：二项式定理 ①通项公式 Tr +1 =Cnr a n - r b r 与展开式中的第 r 项区别 ②二项式展开式中 a,b 排列顺序设置陷阱 ③不能区分二项式系数和项的系数 易错点 3：概率 ①对于两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符 号 P(B|A ) 来表示，其公式为 P(B|A )= P( AB ) P(A) . ②相互独立事件：若 A 与 B 相互独立，则 P( A )=P( AB ) P(B|A )=P( B ) ， P( AB )=P( B|A ) . ③二项分布：在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 k=0,1,2,3, · C kn p k (1−p )n−k （ ……， n ）（ p 为事件 A 发生的概率），事件 A 发生的次数是一个随机变量 X ，其分布列为二项分布，记为 X ~ B (n , p ) . 易错点 4：统计初步 ①统计部分主要研究两个方向，一是对数据的收集，二是对收集的数据进行分析。 ②数据收集：从总体中获取样品数据的方法，主要有三种：简单的随机抽样，系统抽样和分层抽样。 ③数据分析：用抽取的样本数据评估总体数据的分布情况主要从两个方面入手：数字特征和统计图表。 ④样本的数字特征包括：众数，中位数，平均数，方差和标准差；常用的样本统计图表有：饼状图，柱 状图，茎叶图，折线图，频率分布直方图和散点图。 易错点 5：回归分析与独立性检验 ①回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关 关系中这种非确定关系的某种确定性； ②回归直线：回归直线过样本中心； ③独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概 率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立。 01 两个计数原理 例 1（2020•新全国 1 山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ A. 120 种 B. 90 种 C. 60 种 ） D. 30 种 【警示】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 1 【解析】首先从 6 名同学中选1 名去甲场馆，方法数有 C6 ； 然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆，方法数有 故不同的安排方法共有 C61 � C52  6 �10  60 C52 ；最后剩下的 3 名同学去丙场馆. 种.故选：C 【叮嘱】求解排列应用题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直 接列式计算 间接法 正难则反，等价转化的方法 优先法 优先安排特殊元素或特 殊位置 消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排 列后再除以定序元素的全排列 捆绑法 把某些元素看作 一个整 体与其他元素一起排 列，同时注意捆绑元素 的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的 排列，再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空档中 1.（2020•全国 2 卷）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至 少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【解析】Q 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名 2 同学 先取 2 名同学看作一组，选法有： C4  6 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 故答案为： 36 A33  6 6 �6  36 种 . 2．（2017 新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不 同的安排方式共有 A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份： 有 C24 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 02 二项式定理 例 2（2020•北京卷）在 ( x  2)5 的展开式中， x 2 的系数为（ ）． C 24 �A 33  36 种． 故选 D． A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 【警示】二项式定理是今年来常考的考点，一般是基础题或中档题。此题首先写出展开式的通项公式，然 后结合通项公式确定 【解析】  x 2  x2 的系数即可. 5 展开式的通项公式为： Tr 1  C5r  x 5 r  2  r   2  C5r x r 5 r 2 ， 5 r 1 1 2 令 2 可得： r  1 ，则 x 2 的系数为：  2  C5   2  �5  10 .故选：C. 【叮嘱】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定 项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整 数，且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 5 � 2� x  2 �的展开式中， 2 的系数是_________． 1.（2020•天津卷）在 � � x � x 5 r � 2� �2 � x  2 �的展开式的通项公式为 Tr 1  C5r x 5 r � 2 � C5r � 2r � x 53r  r  0,1, 2,3, 4,5  ，令 【解析】因为 � x x � � � � 5  3r  2 ，解得 r  1 ．所以 x 的系数为 C5 �2  10 ．故答案为： 10 ． 2 2.（2020•全国 1 卷） A. 5 B. 10 【解析】 ( x  y )5 (x  C. 15 1 y2 )( x  y )5 的展开式中 x3y3 的系数为（ ） x D. 20 展开式的通项公式为 Tr 1  C5r x5 r y r （ r �N 且 r �5 ） � y2 � x 所以 � x � 的各项与 ( x  y )5 展开式的通项的乘积可表示为： � � xTr 1  xC x r 5 在 5 r y C x r xTr 1  C5r x 6r y r r 5 6 r y2 y 2 r 5 r r r 4r r  2 T  y 和 x r 1 x C5 x y  C5 x y r 3 3 xT  C5 x y 中，令 r  3 ，可得： 4 ，该项中 x y 的系数为 10 ， 3 3 3 y2 y2 Tr 1  C5r x 4r y r  2 T  C51 x3 y 3 在 x 中，令 r  1 ，可得： x 2 ，该项中 x 3 y 3 的系数为 5 所以 x3 y 3 的系数为 10  5  15 .故选：C 03 概率 例 3（2020•全国 1 卷）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比 赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空， 直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比 1 赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【警示】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概 率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 4 �1 � 1 【解析】（1）记事件 甲连胜四场，则 P  M   �2 � 16 ； �� M: （2）记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 4 �1 � 1 P�  P  ABAB   P  ACAC   P  BCBC   P  BABA   4 �� � ， �2 � 4 所以，需要进行第五场比赛的概率为 （3）记事件 记事件 M: BABCC A 为甲输，事件 甲赢，记事件 、 BACBC 、 N: B P  1  P�  为乙输，事件 C 3 4； 为丙输， 丙赢，则甲赢的基本事件包括： BCACB 、 4 BCABC 、 BCBAC BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、 ， 5 �1 � �1 � 9 所以，甲赢的概率为 P  M   �2 � 7 ��2 � 32 . �� �� 9 7 P  N   1 2�  由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为 32 16 . 【叮嘱】①对于事件 A 、 B ，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A 、 B 是相互独立事 件. ②若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A )=P( B ) ， P( AB )=P( B|A ) · P( A )=P( AB ) . ③若 ④若 A 与 B 相互独立，则 P( AB )=P( A )P( B ) A ，则 B 与 A 、 ， B A 与 B ， A 与 B 也都相互独立. 相互独立.  1.（2020•江苏卷）将一颗质地均匀的