复旦附中高一期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 函数 的定义域为 2. 函数 3. 已知 （ ）的反函数为 ，试用 表示 4. 幂函数 （ 5. 函数 ）为偶函数，且在 上是减函数，则 的递增区间为 6. 方程 的解为 7. 已知关于 的方程 有两个实数根，且一根大于 2，一根小于 2， 则实数 的取值范围为 8. 若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值 范围是 9. 已知 的最大值为 的反函数为 ，最小值为 10. 对于函数 角形的三边长，则称 ， ，当 时，函数 ，则 ，若对任意 为“三角形函数”，已知 ， 、 、 都可为某一三 是三角形函数，则实数 的 取值范围是 11. 若关于 的方程 在 内恰有三个实数根，则实数 的取值 范围是 12. 已知函数 任意的 ， ，均有 （ ，则实数 的取值范围是 ），若对 二. 选择题 13. 若命题甲： ，命题乙： A. 充分非必要条件 ，则命题甲是命题乙的（ ） B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 下列函数中既是偶函数，又在 A. B. 15. 设函数 的定义域为 上单调递增的是（ C. ） D. ，有下列三个命题： （1）若存在常数 ，使得对任意 ，有 （2）若存在 ，使得对任意 且 ，使得对任意 ，有 ，则 ，有 是函数 的最大值； ，则 是函数 的最大值； （3）若存在 ，则 是函数 的最大 值； 这些命题中，真命题的个数是（ A. 0 个 B. 1 个 ） C. 2 个 16. 已知函数 D. 3 个 ，记集合 ，若 A. B. ，集合 ，且都不是空集，则 C. D. 三. 解答题 17. 已知函数 . （1）若 ，解方程： （2）若 在 ； 上存在零点，求实数 的取值范围. 的取值范围是（ ） 18. 已知函数 （1）求 的值； 的图像关于原点对称，其中 为常数. （2）设集合 的取值范围. ， ，若 ，求实数 19. 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，然后改善空气质量已成 为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生成某型号的空气净化器，根据以往 的生产销售经验得到下面有关生成销售的统计规律：每生产该型号空气净化器 （百台）， 其 总成本为 （万元），其中固定成本为 12 万元，并且每生产 1 百台的生成成本为 10 万 元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （万元）满足： ，假定该产品销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据 上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 的解析式（利润=销售收入—总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 20. 若函数 则称函数 满足：对于其定义域 在 内的任何一个自变量 ，都有函数值 上封闭. （1）若下列函数的定义域为 ，试判断其中哪些在 上封闭，并说明理由， ， ， ； （2）若函数 的定义域为 ，是否存在实数 ，使得 在其定义域 上封闭？若存在，求出所有 的值，并给出证明，若不存在，请说明理由； （3）已知函数 证： 在其定义域 且 ，求 . 21. 已知函数 ，其中 （1）若 （2）设 上封闭，且单调递增，若 ，解不等式 . ； ， ，若对任意的 ，函数 在区间 最大值和最小值的差不超过 1，求实数 的取值范围； （3）已知函数 存在反函数，其反函数记为 在 ，若关于 的不等式 上恒成立，求实数 的取值范围. 上的 参考答案 一. 填空题 1. 2. 5. 6. 1 9. 2 3. 7. 10. 8. 11. 12. 二. 选择题 13. A 14. D 15. C 16. A 三. 解答题 17.（1） 18.（1） ；（2） ；（2） . . 4. 3 ；（2）生产 12 百台，利润最大 60 万元. 19.（1） 20.（1） 21.（1） 在 上不封闭， 在 ；（2） 上封闭；（2） ；（3） ；（3）证明略. .