第二章 基本初等函数（I） 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 通过本节学习应达到如下目标: 1、了解指数函数模型背景及实用性必要性。2、了解根式的概念及表示方法。 3、理解根式的概念．理解分数指数幂的概念。4 掌握有理指数幂的运算性质，根式与分数指数幂的互化。 （一） 基础回顾 动手、思考：一张纸你能折几次，每折一次有多少层呢？ 1、回顾初中根式的概念： 2、复习初中整数指数幂的运算性质； 3、根式的概念及运算： （1）定义 n 次方根： （2）讨论：当 n 为奇数时, n 次方根情况如何？ 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根情况？ 强调：负数 偶次方根,0 的任何次方根都是 , 即 4 3 （3） 练习： b  a ,则 a 的 4 次方根为 ； b  a , 则 a 的 3 次方根为 （4）定义根式： 2 2 （5） 计算 ( 3) ； 3 3 √(−8)3 43 ； （6）分数指数幂的意义 规定：0 正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。 （7）有理数指数幂的运算性质 （8）求值： 4 (7) 4 ； 6 (3   )6 ； √(a−b )2 （a b ） 36 49 ( ) 3 2 （9）用分数指数幂表示下列格式： 2 3 3 √(m−n )2 √ x2 （ m >n ） √ p 6 q5 （ p>0 m √m ） （二）合作探讨 n √ an 1、 ( n a ) n 、 的意义及结果？ （特殊到一般） 1 1 升，然后用水填满，再倒出 升，又用水填满，这样进行 5 次， 3 3 2、从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出 则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ 3、如何理解无理指数幂 （三）巩固练习 1. 计算： 5 32 ； 5 √(−0.1)5 √( π−4 )2 ； 6 √( x− y )6 ； √ a b √ab 2 √ b a 3 23 2 3 6 √ 3×√ 1. 5×√12 2x − 1 3 ( 1 2 − 1 3 x −2 x 3 2 ) 1 4 1 2 4 3 (a b ) ⋅ （ ( x> y ) ； a>0,b>0 ） 2.1.2 指数函数及其性质 通过本节学习应达到如下目标: 1、能熟练运用指数函数的性质解题 2、在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具 体到一般的过程、数形结合的方法等 3、认识数学与现实生活及其他学科的联系 学习过程 （一）自主探究 1、阅读课本 48 页，思考以下问题 （1）在本节的问题 2 中时间 和碳 14 含量 的对应关系 的对应关系： 1 p= 2 t 5730 () 和问题 1 中时间 x 与 GDP 值 y 能否构成函数？ （2）这两个函数有什么共同特征？ （3）能否根据上述两个函数关系式给出指数函数的定义. 讨论：为什么规定 a ＞0 且 a ≠1 呢？否则会出现什么情况呢？ 2. 指数函数的图象和性质： x （1）函数 y  2 与 （2）从画出的图象（ 1 1 y=( )x y  ( )x x y  2 2 2 的图象？ 的图象有什么关系？可否由 的图象画出 y=2 x 、 y=3 x 和 y=5 x ）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么 样的规律？ （二）合作探讨 1、根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质。 图象特征 函数性质 a>1 0< a<1 a>1 向 x 轴正负方向无限延伸 0< a<1 定义域： 值域： 奇偶性： 0 a =1 函数图象都过定点 自左向右看， 图象逐渐上升 减函数 x 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 x>0, a >1 x 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 x<0, a >1 图象下降趋势是越 来越缓慢。 2 、 利 用 函 数 的 单 性 x f (x )=a ( a>0 且a ≠1) （ 1 ） 在 [m ， n] 上 ， （ 2 ） 若 a>1 时，若 ， 结 合 图 象 值域是 还 可 以 ，则 看 出 或 x f (x )=a ( a>0 且a ≠1) ， 总 有 f (1 )= f (x 1 )<f ( x2 ) ；当 0< a<1 时，若 ，则 ： ； f (x )=1 ； f (x ) 取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 ， 则 （ 3 ） 对 于 指 数 函 数 （4）当 调 函数值开始增长较 慢，到了某一值后 增长速度极快； ； x∈¿ ¿ ； f (x 1 ) f (x 2 ) （三）巩固练习（学习 57 页例 7） 1、比较大小（ 规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．） （1） 2.5 1.5 1.7 ,1.7 （2）设 0< a （2） −1.1 0.8 ,0.8 −0 .2 <1,解关于 x 的不等式 a （3） −3 x+1 > a 0 .3 1.7 ,0.9 2+5 x 。 0.1 (4)0.8-0.3 和 4.9-0.1 (5)0.90.3 和 0.70.4 2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 通过本节学习应达到如下目标: 1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化． 学习过程： （一）自主探究 1．对数产生于 17 世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据 ， 都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到 计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数 是 17 世纪到 18 世纪逐步形成的．18 世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对 数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们 由３ 2＝９可得到 理解和掌握有关概念． (1)9 是 3 的平方 参考课本写出与３ 2 ＝９,( （2）3 是 9 的平方根 对数式子,并标明各部分的名字 ⑴、对数定义：一般地，如果 a （ 为底 N 的对数，记作 指数式 x a =N ⇔ 对数式 a>0 且a≠1 ，其中 a 叫做对数的 b ）的 b 次幂等于 N, 就是 a =N ，N 叫做 思考： 为什么对数的定义中要求底数 ，那么数 b 叫做以 a 。 a> 0 ，且 a≠1 ； ⇔ ← a →对数底数 指数 ← x → 1 0.5 ) =0.71 对应的 2 是否是所有的实数都有对数呢？ N → 真数 ← ⑵、注意对数的书写格式． ⑶、两种特殊的对数： （1）常用对数：以 10 为底的对数（ log10 N ）叫做　　　　　　， log10 N 记作　　　　　. （2）自然对数：以 e 为底的对数（ log e N ）叫做　　　　　 ， log e N 记作　　　　　. 3、常用的对数关系式： a 0 1 （ 1 ） 负 数 和 零 没 有 对 数 ； (2) ∵ ∴ log a 1  ___ . ； （ 2 ） ∵ a1  a ∴ log a a  ___ ． (3) 对数恒等式： a log a N n log a a = = （二）合作探讨 （1）、给出四个等式：① lg(lg10)  0 ；② lg(ln e)  0 ；③若 lg x  10 ，则 x  10 ；④若 ln x  e ，则 x  e 2 。其中正确的是（ ） （2）、 log 5 [log 4 (log 3 81)]  　　　；　若 log 2 (log 3 (log 5 x))  0 ，则 x  　　　　. （三）巩固练习 （1）、将下列指数式写成对数式 4 5 =625 2−6 = 1 64 1 ( )m=5 .73 3 a 3 =37 （2）、将下列对数式写成指数式 log 1 16=−4 log 3 27=a log 2 128=7 2 lg 0.01=−2 （3）、求下列各式的值 log 5 25 log 2 1 16 lg 1000 lg 0.001 log 15 15 log 0 .4 1 log 9 81 log 2 .5 6.25 log 7 343 log3 243 2、设 A={0，1，2}，B={ loga 1 ， loga 2 ， a }，且 A=B，求 a 的值。 2.2.1 对数与对数运算(二) 通过本节学习应达到如下目标: 1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化． （一） 基础回顾 1、根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题： 设 log a 2=m 设 log a M =m ， ， log a 3=n m +n ，求 a log a N =n ； ，试利用 m 、 n 表示 log a ( M 2、由指数运算性质填空 指数运算性质 对数运算性质 am·an＝am＋n （am）n＝amn （ab）n＝an·bn a>0，b>0，m，n∈R 2 3、注意表示形式： log a 4、练习：用 log a x ， M  (log a M ) 2 log a y ， log a z 表示下列各式 · N) ． xy log a = z lg x 用 ， log a lg y ， lg z x2 √ y 3 √z = 表示下列格式 2 lg( xyz )= 3 lg xy = √z lg xy = z lg √x = y2z 5、注意:在混合运算过程中，注意应用乘法公式、因式分解公式、配方法等，以提高解题速度与解题质 量．在运算过程中注意应用：① loga1＝0，② logaa＝1，③ ＝1 等技巧． 6、计算：（1） lg 27  lg 8  lg 1000 lg 12  1 （2）2 ＝N 等基本性质，及 lg2＋lg5＝lg10 (lg √2 )2 +lg √ 2lg √5+ √(lg √2)2−2 lg2+1 （二）合作探讨 1、判断正误：（其中 a  0, a �1, M  0, N  0 ） （1） log a ( M  N )  log a M