考点 17 正、余弦定理及解三角形 正、余弦定理是高考的必考点，题型会以选择、填空或解答题的形式进行考查，主要是利用正余弦定理对 题干中的式子进行化简转化，再结合三角函数公式或性质进行解题，重点掌握： 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 一、正弦定理 1．正弦定理 在 △ ABC 中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 a b c = = .正弦定理对任意三角形都成立． sin A sin B sin C 2．常见变形 sin A a sin C c sin B b  ,  ,  , a sin B  b sin A, a sin C  c sin A, b sin C  c sin B; （1） sin B b sin A a sin C c （2） a b c ab ac bc abc       ; sin A sin B sin C sin A  sin B sin A  sin C sin B  sin C sin A  sin B  sin C （3） a : b : c  sin A : sin B : sin C ; （4）正弦定理的推广： a b c = = =2 R ，其中 为 的外接圆的半径. sin A sin B sin C R △ ABC 3．解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在 △ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，三角形解的情况 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 a 2  b 2  c 2  2bc cos A, b 2  a 2  c 2  2ac cos B，c 2  a 2  b 2  2ab cos C . 2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论： cos A  b2  c2  a2 c 2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 , cos B  , cos C  . 2bc 2ca 2ab 3．解决的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤 三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式 设 △ ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. （1） S  1 ah (h 为 BC 边上的高)； 2 （2） S  1 1 1 bc sin A  ac sin B  ab sin C ； 2 2 2 （3） S  1 r (a  b  c) ( 为三角形的内切圆半径)． 2 r 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． （3）方向角 相对于某一正方向的水平角. ① 北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； ② 北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； ③ 南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 ① 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)； ② 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤 考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征 都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论： （1）三角形的内角和定理：在 △ ABC 中， A BC  π ，其变式有： A B  π C ， A B π C   2 2 2 等． （2）三角形中的三角函数关系： sin( A  B)  sin C ； sin cos( A  B)   cos C ； A B C  cos ； 2 2 cos 典 例 1 在 △ ABC 中 ， 内 角 b=❑√ 3 c ，则 A B C  sin . 2 2 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ， 若 b sin 2 A +❑√3 a sin B=0 ， c 的值为 a A．1 C． 5 5 B． 3 3 D． 7 7 【答案】D ❑ ❑ 【解析】由 b sin 2 A + √ 3 a sin B=0 ，结合正弦定理，可得 sin B sin 2 A + √ 3 sin A sin B=0 ， ❑ 即 2 sin B sin A cos A+ √ 3 sin A sin B=0 ， 由于 sin B sin A ≠ 0 ，所以 cos A= 5π 因为 0＜A＜π，所以 A= 6 −❑√ 3 ， 2 ． 2 2 2 2 2 2 ❑ 又 b= √ 3 c ，由余弦定理可得 a =b +c −2 bc cos A=3 c +c +3 c =7 c 2 即 a =7 c 2 ，所以 2 ， c ❑√ 7 = . a 7 故选 D． ❑ 典例 2 已知 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a sin A+b sin B+ √ 2 b sin A=c sinC . （1）求 C ； ❑ （2）若 a=2, b=2 √ 2 ,线段 BC 的垂直平分线交 AB 于点 D ,求 CD 的长. ❑ 【解析】（1）因为 a sin A+b sin B+ √ 2 b sin 由余弦定理得 cos C= a2 +b 2−c 2 2ab 3π 又 0<C <π ，所以 C= 4 3π （2）由（1）知 C= 4 A=c sin C ,所以 a2 +b 2+ ❑√ 2 ab=c 2 . ❑ 2 ¿− √ ， 2 . , 2 −❑√ 2 2 2 2 2 ❑ ❑ c =a + b −2 ab cos C=2 +(2 2) −2× 2× 2 2×( )=20 ， √ √ 根据余弦定理可得 2 ❑ 所以 c=2 √ 5 . c b 由正弦定理得 sinC = sin B ，即 从而 cosB  2 5 2 2 ❑  5 2 sinB ，解得 sin B= √ . 5 2 2 5 . 5 设 BC 的中垂线交 BC 于点 E , BE 因为在 Rt△ BDE 中， cos B= BD ， 所以 BD  BE 1 5   cosB 2 5 2 ， 5 ❑ √5 DE BC CD=BD= . 因为 为线段 的中垂线，所以 2 1．在 △ ABC A, B, C 中，内 角 a 2  c 2  b 2  ac  0 ， 的对边分别是 c2 3 A． ，则 a （ a, b, c ， ） 1 △ ABC sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  0 B． 1 3 C． 2 2．已知 ，若 D． 2 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a(sin A  sin B)  2b sin B . （1）证明： A  B ； （2）记线段 AB 上靠近点 B 的三等分点为 D ，若 CD  17 ， b  5 ，求 c . 考向二 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路： （1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状. （2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换， 得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A B C  π 这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 典例 3 在 △ ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知 （1）求证： △ ABC tan C  sin B 1  cos B ． 为等腰三角形； a2 b2 （2）若 △ ABC 是钝角三角形，且面积为 4 ，求 ac 的值． 【解析】（1）由 则 tan C  sin B sin C sin B  1  cos B 得： cos C 1  cos B ， sin C  sin B cos C  cos B sin C  sin  B  C  ，   A  Q A  B  C  π ， sin  B  C   sinπsin A  sin C  sin A ， ， 由正弦定理可知： c  a ， 则 △ ABC 为等腰三角形. （2）由题意得： ∵ △ ABC S 1 1 a2 1 ac sin B  a 2 sin B  sin B  ，解得： 2， 2 2 4 为钝角三角形，且  cos B   ac B ， 为钝角， 3 2 ，   由余弦定理得： b  a  c  2ac cos B  2a  3a  2  3 a ， 2 b2 b2   2  2 3 . ac a 2 2 2 2 2 3． △ ABC 中三个角的对边分别记为 a、b、c，其面积记为 S，有以下命题：① 若 2 cos B sin A  sin C ，则 △ ABC S 1 2 sin B sin C a 2 sin A ；② 是等腰直角三角形；③