2021 届高考数学一轮复习 专题 01 集合与常用逻辑用语 十大考点解读 配套经典例题 一、集合 1、知识点归纳 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． (4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有理数集 Q；实数 集 R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：对任意的 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B(或 B⊇A)． (2)真子集：若 A⊆B，且 A≠B，则 AB(或 BA)． (3) 空 集 ： 空 集 是 任 意 一 个 集 合 的 子 集 ， 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集 ． 即 ∅ ⊆A，∅B(B≠∅)． (4)若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，A 的非空子集有 2n－1 个． (5)集合相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B. 3．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}． 4. 集合的运算性质 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B； ②A∩A＝A，A∩∅＝∅； ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. 2、要点提示 一个性质 要注意应用 A⊆B 、A∩B＝A、A∪B ＝B、∁ UA⊇∁UB 、A∩(∁UB)＝ ∅ 这五个关 系式的等价性． 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数 轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)． (3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因 为不满足“互异性”而导致结论错误． 二、常用逻辑用语 一、命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中 判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2、四种命题及其关系 (1)、四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 逆否命题 (2)、四种命题间的逆否关系 若 ¬¿ ¿ p 则 ¬¿ ¿ q 则 q 若 ¬¿ ¿ ¬¿ ¿ p (3)、四种命题的真假关系 **两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； *两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 二、充分条件与必要条件 1、定义 1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． 2．如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件． 2、四种条件的判断 1.如果“若 p 则 q ”为真，记为 p � q ，如果“若 p 则 q ”为假，记为 x>1，或x<−1 . 2.若 p � q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 3.判断充要条件方法： （1）定义法：① p 是 q 的充分不必要条件 分条件 � ( x∈R ) 不必要条件 � ；③ p 是 q 的充要条件 � �p �  q � p � �  q （2）集合法：设 P={p}，Q={q}， �p � q �  q ( x∈R ) �p � �p � q � q� p � ；　② p 是 q 的必要不充 ；　④　p 是 q 的既不充分也 ①若P Q，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件. ② 若 P=Q，则 p 是 q 的充要条件（q 也是 p 的充要条件）. ③若P Q 且 Q P，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 3、命题的否定 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或 q ”的否定：“ ¬¿ ¿ p且 ¬¿ ¿ q” ； “p 且 q ”的否定：“ ¬¿ ¿ p或 ¬¿ ¿ q” “若 p 则 q“命题的否定：只否定结论 特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论； 否命题：全否 对命题 p 的否定（即非 p）是否定命题 p 所作的判断，而“否命题”是 “若 ¬¿ ¿ ¬¿ ¿ p则 q” 考点一：集合的概念 例 1 已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________。 【答案】－ 考点二：集合的基本运算 例题 2（黄浦区 2020 届高三上期末（一模））设集合 A  {x | ( x  1)( x  2)  0} ， 集合 B  {x |1  x  3} ，则 A �B =___________。 【答案】（－1，3） 考点三：集合与不等式 例题 3 设集合 M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则 M∩N 等于(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3] 【答案】A 考点四：集合与排列组合 例题 4 设集合 A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足 S⊆A 且 S∩B≠∅的集合 S 的个数是(　　) A．57 B．56 C．49 D．8 【答案】B 考点五：集合问题中的创新问题 例题 5 设 a，b，c 为实数，f(x)＝(x＋a)(x2 ＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2 ＋bx＋ 1)．记集合 S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是(　　)． A．|S|＝1 且|T|＝0 B．|S|＝1 且|T|＝1 C．|S|＝2 且|T|＝2 D．|S|＝2 且|T|＝3 【答案】D 考点六：充分性与必要性 2 例题 6 （虹口区 2020 届高三上期末（一模））设 x �R ，则“ | x  1| 1 ”是“ x  4 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 考点七：真假命题 x 1 0 例题 7（闵行区 2020 届高三上期末（一模））命题“若 x  a ，则 x ”是真命题，实 a 数 的取值范围是（ ） A. (0, �) B. ( �,1] C. [1, �) 【答案】C 考点八：逆否命题 例题 8 下列命题中为真命题的是(　　) A．命题“若 x>y，则 x>|y|”的逆命题 B．命题“若 x2≤1，则 x≤1”的否命题 C．命题“若 x＝1，则 x2－x＝0”的否命题 D．命题“若 a>b，则<”的逆否命题 【答案】 A 考点九：命题的否定 例题 9 下列命题的否定是真命题的是(　　) A．有些实数的绝对值是正数 B．所有平行四边形都不是菱形 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3 是方程 x2－9＝0 的一个根 【答案】 B D. (�,0] 考点十：命题的应用 例题 10 已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A，B，C，则“sinA >sinB”是“tanA >tanB”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 C 例 题 11 （ 徐 汇 区 2020 届 高 三 上 期 末 （ 一 模 ） ） 已 知 集 合 M  {x | x  2} ， 集 合 N  {x | x �1} ， 则M UN  。 【答案】 (�,1] U (2, �) 例 题 12（长宁嘉定金山区 2020 届高三上期末（一模）） 已知集合 B   2, 4, 6,8 ，则 A I B  _________。 【答案】 {2, 4} 例题 13 命题“存在实数 x，使 x>1”的否定是(　　) A．对任意实数 x，都有 x>1 B．不存在实数 x，使 x≤1 C．对任意实数 x，都有 x≤1 D．存在实数 x，使 x≤1 【答案】 C A   1, 2,3, 4,5 ， 例题 14 i 是虚数单位，若集合 S＝{－1,0,1}，则(　　)． A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S 【答案】 B 例 题 15 已知集合 P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若 P∪M＝P，则 a 的取值范围是( )． A．(－∞，－1] B. [1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 【答案】 C 例题 16 已知集合 A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则 m＝________ 【答案】 2