第 2 章 一元二次函数、方程和不等式知识清 单 一、 一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax>b 的解的情况： （1）当 a>0 时， （2）当 a<0 时， x> b a ； x< b a ； （3）当 a=0 时，i) 若 b≤0，则取所有实数；ii) 若 b>0，则无解。 二、 分式方程、分式不等式的解法 1、分式方程的解法 ① 一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法． (2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是 解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零， 使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去． 说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法． 2、分式不等式的解法： 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为 0 再通分并将 分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式， 进行求解． 3、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程 简单分式不等式的解法 三、 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 式 一 般 二次函数 y  ax  bx  c (a  0) 2 一元二次方程 一元二次不等式 [ 2 ax  bx  c  0 (a  0) 2 Δ=b −4 ac ax  bx  c  0 ( a  0) 2 ax 2  bx  c  0 ( a  0) y Δ>0 x1 O x2 x  x1 , x  x2 ( x1  x2 ) x 1< x2 或 x 1> x2 x 1 <x< x2 x y 图 像 与 解 Δ=0 x0 O x=x 0 =− b 2a x≠x 0 无解 R 无解 x y Δ<0 x O 表中 无解 x 1= −b− √ b 2−4 ac −b+ √ b2 −4 ac x 2= 2a 2a ， ⇔ a >0 Δ=b − 4 ac <0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ 2 2、 2 ax +bx +c >0( a≠0 ) 恒成立 ⇔ a <0 Δ=b − 4 ac <0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ 2 2 ax +bx +c <0( a≠0 ) 恒成立 四、绝对值不等式 1、a>0 时， 2 2 2 2 |x|< a⇔ x <a ⇔−a< x< a ；② |x|> a⇔ x >a ⇔ x <−a 或 x>a ① 2、解含有绝对 值不等式关键是如何去绝对值符号． 对于形如 | f ( x) |�g ( x) 和 | f ( x) |�g ( x ) 的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得 | f ( x) |�g ( x) � f ( x) �g ( x) 或 f ( x) �g ( x) ； | f ( x) |�g ( x) �  g ( x) �f ( x) �g ( x) ． 五、 基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 a+b ≥ √ ab 2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若 (2)若 a,b∈R a,b∈R 2 2 ,则 a +b ≥2 ab ； ,则 ab≤ a2 + b2 2 （当且仅当 a=b 时取“=”）． a+b ≥ √ ab (3)若 a  0 ,b  0 ,则 2 ； (4)若 a  0 ,b  0 ,则 a+b≥2 √ ab a+b ab≤ 2 (5)若 a  0 ,b  0 ,则 2 ( ) (6)若 x  0 ,则 x （当且仅当 a=b 时取“=”）； （当且仅当 a=b 时取“=”）． 1 1 �2 x  �2 x x （当且仅当 x  1 时取“=”）；若 x  0 ,则 （当且仅当 x  1 时取“=”）；若 x �0 ,则 x 1 1 1 �2 x  �2 x  �2 x x x ,即 或 （当且仅当 a=b 时取 “=”）． a b a b  �2 + ≥2 b a ab � 0 ab>0 a=b b a (7)若 ,则 （当且仅当 时取“=”）；若 ,则 ,即 a b a b  �2  �2 b a 或b a （当且仅当 a=b 时取“=”）． a b a2  b2 � ab � � 1 1 2 2  (8)一个重要的不等式链： a b ． 2 六、一元二次不等式的概念及形式 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ② ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 七、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的 集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)或 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式 f(x)>0 或 f(x)<0 的解集，就是分别使二次函 数 f(x)的函数值为正值或负值时自变量 x 的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 解不等式 f(x)>0 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac 判别式 Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ＝b2－4ac 有两个不等的实数 有两个相等的实数 求方程 f(x)＝0 的解 没有实数解 解 x1，x2 解 x1＝x2 或 f(x)< 画函数 y＝f(x)的示 0 的步骤 意图 得不 等式 的解 f(x)>0 f(x)<0 {x|x<x1 或 x>x2 } {x|x1 <x<x2 } {x|x≠－} R ∅ ∅ 集 八、分式不等式的解法 ①>0 与(x＋1)(x＋3)>0 等价吗？ ②≤0 与(2x－1)(x＋2)≤0 等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于 x 的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 >0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)·g(x)<0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x)>0 或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x)<0 或 九、简单的高次不等式的解法 (1)由函数与方程的关系可知 y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与 x 轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当 x>2,1<x<2，x<1 不同情形下，y 值的符号变化情况． (2)考查函数 y＝(x－1)2(x＋3)，当 x<－3，－3<x<1，x>1 时，y 的取值正负情形．你发现了什么规律？ 高次不等式：不等式最高次项的次数高于 2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ① 将 f(x)最高次项系数化为正数； ② 将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③ 将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况， 偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④ 观察曲线显现出的 f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．