延庆区 2020—2021 学年第二学期期末试卷 高二数学 2021.7 本试卷共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要 求的， 把答案填在答题卡上. A   x | x  1 B   x | x  1 ， ，则 1. 若全集 U  R ， （A） A �B （C） CU A �B （B） B �A （D） B �CU A 2i  2. 复数 1  i （A） 1 i （B） 1 i （C） 1  i r r r a  (1, x  2), b  ( x  2, 4) ，若 ar / /b ，则 x  3. 设向量 10 0 � 2 2 （A） （B） （C） 3 4. “ ad=bc ”是“ a,b,c ,d （D） （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 5. 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 a  2b ， （A）  3 （ A 2 2 成等比数列”的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 A 1  i （D） B  2 或A  3 3 ） （C） sin A  3 3 sin B  （D） 3 4 ，则 sin A  6. 焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 2 的抛物线的标准方程是 39 8 （A） x  4 y （B） y  8 x 2 7.设等差数列 （A） 8．若 （C） x  8 y 2  an  a11  a12  0 2 a1 Sn n 的前 项和 ，且 （B） a11  a12  0  10, a3  8, （C） （D） y  4 x 2 那么下列不等式中成立的是 S11  S12  0 （D） S11  S10  0 f ( x)  sin x  3 cos x 在  a, a  是增函数，则 a 的最大值为 （A） 1  （C） 6 （B） 2 9 9．学校要邀请 位学生家长中的 6 人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参 加，则邀请的不同方法为 （A） 140 种 （B） 98 种 10. 设集合 A � 1, 2, 3,L ,11 .若 5 （D） 6 （C） 84 种 （D） 49 种 中的任意三个元素均不构成等差数列，则 A 中的元 素最多有 （A） 6 个 （B） 7 个 （C） 8 个 （D） 9 个 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上. 11．曲线 y 1 x 在 x  3 处切线的斜率为_________． 6 � a� 12．若 �x  x 2 �的展开式中的常数项为 ，则常数 的值为_________． � � 30 a 13．若函数 f ( x)   x 2  ax 在区间 (1, 0) 上恰有一个极值点，则 a 的取值范围是_____ ___． 3 3 2 3 14．已知 f ( x )  ( x  1) ,设 ( x  1)  a0  a1 x  a2 x  a3 x ，则 a1  2a2  3a3 = _________． �x  4e , x ≤ 0, � 15 ． 已 知 函 数 f  x   � 1 若关于 的方程 有四个实数解 �x  , x  0. x f ( x )  a(a �R) � x xi (i  1, 2,3, 4) ，其中 x1  x2  x3  x4 ，则 ( x1  x2 )( x3  x4 ) 的取值范围是_______． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 14 分） 已知等差数列  an  的前 n 项和为 Sn , n �N * , 从条件①、条件②和条件③中选择两个 作为已知，并完成解答： （Ⅰ）求数列  an  的通项公式； （Ⅱ）设等比数列 条件①：  bn  满足 b3  a2 ， b4  a4 ，求数列  an  bn  的前 n 项和 Tn . a2  4 ； 条件②： an 1  an  2 ； 条件③： S2  6 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 BC  3 ， AC  2 2 ， E 为 PB 中点， CD  BC . ABCD ， PA  AD  CD  2 ， （Ⅰ）求证: BC // （Ⅱ）求直线 AE 平面 PAD 与平面 ； PCD 所成角的正弦值. 18.（本小题满分 14 分） 2020 年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米. 下表为 2007 年—2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位： 平方米. 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8 （Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长 不少于 2 平方米的概率； （Ⅱ）在给出的 10 年数据中，随机抽取三年，记 X 为同年中农村人均住房建筑面积超过 城镇人均住房建筑面积 4 平方米的年数，求 X 的分布列和数学期望 E( X ) ． 19.（本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x )  e x  ax .（ a �R ） （Ⅰ）若 a  0 ，求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）若 a  3 ，证明：当 x  0 时， f ( x)  x 2  3 x  1 恒成立． 20. （本小题满分 14 分） x2 y 2 2   1(a  b  0) 经过点为 e 已知椭圆 C ： a 2 b 2 (0, 2) ，且 2 ． （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）若直线 C 的方程； y  kx  m P(2,0) 与椭圆 C 相切于点 M ，与直线 x  x0 相交于点 N ．已知点 x ，且 PM  PN ，求此时 0 的值． 21. （本小题满分 15 分） 已知数列 An ： a1 ak 1 ① a  1 ；② a 1 k ， a2 2 � � ，� ， （ k 1 an （ n �3且n �N ， ， 2 ， � � � n 1 ）满足： ）. 记 S ( A )  a  a  � � �  an . n 1 2 （Ⅰ）直接写出 （Ⅱ）证明： （Ⅲ）若 S  A3  的所有可能值； S  An   0 S ( An )  0 ，求 的充要条件是 an  0 ； S ( An ) 的所有可能值的和． 延庆区 2020—2021 学年第二学期期末试卷 高二数学答案及评分标准 2021.6 一、选择题： 本大题共 10 小题，共 40 分. DCBBB DACDA 二、填空题：本大题共 5 小题，共 25 分. 1 11. 9 ； 12. � 2 ； 13.  2, 0  三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16.（本小题满分 14 分） ( Ⅰ)解： 选 ①② 由已知 a2  4 , an 1  an  2 �a1  d  4 �a1  2 �� � d 2 � �d  2 ………3 分 所以数列 14 . 12  0,16e 15. 4e 2  1 � � 选 ②③ 由已知 S2  6 , an 1  an  2 �2a1  d  6 �a1  2 �� � d  2 �d  2 ………3 分 所以数列 � 选 ①③ 由已知 S2  6 , a2  4 所以数列 �2a1  d  6 �a1  2 �� � �d  2 �a1  d  4 所以数列  an  是首项为 a1  2 所以数列  an  的通项公式为： a 公差为 d  2 的等差数列 ………4 分 ， n Ⅱ）设等比数列 （ ………3 分  a1  (n  1)d  2  (n  1)2  2n …………6 分  bn  满足 b3  a2 ， b4  a4 ， 2 � �a1q  4 �a1  1 �� 所以数列 � 3 ………8 分 �a1q  8 �q  2 所以数列  bn  是首项为 b1  1 所以数列  bn  的通项公式为： b 因为数列  an  bn  的前 n 项和 Tn 公比为 ， n q  2 的等比数列 ………9 分  b1q ( n 1)  2n 1 …………10 分 n 1 Tn  (2  4  6  L  2n)  (1  2  4  L 2 )  (2  2n) n (1  2 n )  2 1 2  n 2  n  2n  1 …………12 分 …………13 分 …………14 分 17.（本小题满分 14 分） （I）因为 所以 因为 PA  AD  CD  2 ，所以 AC  2 2 AD 2  CD 2  AC 2 BC  CD ,所以 .所以 AD  CD AD // BC . …………2 分 …………3 分 . 因为 AD �平面 PAD . 因为 所以 BC � PAD BC // PAD 平面 （Ⅱ）过 因为 所以 平面 A PA