考点 20 直线、平面平行的判定及其性质 1．（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形， M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F； π （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= 3 ，求四棱锥 B–EB1C1F 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 24 . 【分析】 （1）由 面 M,N 分别为 BC ， B1C1 的中点， MN //CC1 ，根据条件可得 AA1 / / BB1 ，可证 MN //AA1 ，要证平 A AMN A AMN EB1C1 F  平面 1 ，只需证明 EF  平面 1 即可； （2）根据已知条件求得 S四边形EB1C1F 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 【详解】 （1）Q M,N 分别为 BC ， B1C1 的中点， VB  EB1C1F .  MN //BB1 又 AA1 / / BB1  MN //AA1 在等边 VABC 中， M 为 BC 中点，则 BC  AM 又Q 侧面 BB1C1C 为矩形，  BC  BB1 Q MN //BB1 MN  BC A AMN MN , AM � 由 MN �AM  M ， 平面 1  BC ⊥ 平面 A1 AMN 又Q B1C1 //BC  B1C1 // 又Q ，且 B1C1 � 平面 ABC ， BC �平面 ABC ， 平面 ABC B1C1 � 平面 EB1C1 F ，且平面  B1C1 / / EF  EF //BC A AMN 又Q BC  平面 1  EF  平面 A1 AMN Q EF �平面 EB1C1 F  平面 EB1C1 F  平面 A1 AMN EB1C1F � 平面 ABC  EF （2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ， 画出图形，如图 Q AO // 平面 EB1C1 F AO �平面 A1 AMN ，平面 A1 AMN �平面 EB1C1 F  NP  AO //NP Q NO //AP 又  AO  NP  6 QO  为 △ A1 B1C1 ON  故： 的中心. 1 1 A1C1 sin 60� �6 �sin 60� 3 3 3 ON  AP  3 ，则 AM  3 AP  3 3 ， Q 平面 EB1C1 F  平面 A1 AMN ，平面 EB1C1 F �平面 A1 AMN  NP ， MH �平面 A1 AMN  MH  平面 EB1C1 F EF AP  又Q 在等边 VABC 中 BC AM EF  即 AP ‫״‬ BC 3 6  2 AM 3 3 由（1）知，四边形 EB1C1 F 为梯形  ‫ ״‬S四边形EB1C1F   四边形 EB1C1 F 的面积为： EF  B1C1 26 NP = 6 24 2 2 1 VB  EB1C1F  S四边形EB1C1F � h ， 3 sin 60� 3 ， h 为 M 到 PN 的距离 MH  2 3 � 1 V  �24 �3  24 . 3  【点睛】 本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面 垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 1.判断或证明线面平行的常用方法 ① 利用线面平行的定义(无公共点)． ② 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③ 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④ 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平 面确定交线． 3.证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 1．线面平行的判定定理和性质定理 判 文字语言 如果平面外一条直线与此平面 定 内的一条直线平行，则该直线 定 与此平面平行(简记为“线线平 理 性 行⇒线面平行”) 一条直线与一个平面平行，则 质 过这条直线的任一平面与此平 定 面的交线与该直线平行(简记为 图形语言 符号语言 ⇒l∥α ⇒l∥b 理 “线面平行⇒线线平行”) 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条相交直 判定 线与另一个平面平行，则 定理 这两个平面平行(简记为“线 图形语言 符号语言 ⇒α∥β 面平行⇒面面平行”) 性质 定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它 们的交线平行 3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则 α∥γ. (3)若 α∥β，a⊂α，则 a∥β. ⇒a∥b 1．（2021·河北高三其他模拟）已知 且   ,n   ，则“ m // n ”是“ , m / / 是两个不同的平面，m，n 是平面 ”的（ B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A．若 C．若 m / / a, a / /  m  ， ，则  / / m 和平面 m / / ，则 m ,   之外的两条不同的直线， ，则下列结论一定成立的是（ B．若 m  D．若 m / / ， ，     a b ，则 ，则 c ） m / / m 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））若 ， ， ， 平面，则下列说法错误的是（ 和 ） A．充分不必要条件 2．（2021·浙江高三其他模拟）已知直线  m n ， 为空间直线，  ，  为 ） A． a //b ， b  c ，则 a  c B． C． m  m  a ， ， n n b ， ， mn  // a ，则 ，则 b   m //n D． ， 是异面直线，则 ， 在  内的射影为两条相交直线 4．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））已知三条不重合的直线 m ， n ， l ，三个不重合的平 面  ，  ，  ，下列命题中正确的是（ ml � � m //n � A． n  l � ） m    l  � � � �  // �  // � n // � � � B． m   C．    D． l  n � � � 5．（2021·江西九江市·高三三模（文））如图所示，在正方体 动点，给出下列四个结论：① DP 长度为定值；②三棱锥 DP  A1C ；④存在点 P，使得 A1 P A．①③ ABCD  A1B1C1 D1 P  AB1 D1  平面 AB1D1 其中正确的是（ B．②④ C．②③ 中， P 为线段 BC1 上的 的体积为定值；③任意点 P，都有 ） D．①④ 6．（2021·四川达州市·高三二模（文））如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD  A1B1C1 D1 中，P 为正方形 ABCD 内（包括边界）的一动点，E，F 分别为棱 AB, BC 的中点，若直线 D1 P 与平面 EFC1 无公共点， 则线段 D1 P 的长度的最小值是（ ） 3 2 B． 4 5 A． 4 5 C． 2 D．1 7．（2021·江西鹰潭市·高三一模（文））如图 1，直线 EF 将矩形 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF ，将梯形 CDEF 列说法正确的是（ 沿边 EF 翻折，如图 2，在翻折过程中（平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合），下 ） A．在翻折过程中，恒有直线 AD / / 平面 C．存在某一位置，使得 BF / / CD BCF B．存在某一位置，使得 CD / / 平面 ABFE D．存在某一位置，使得 DE  平面 ABFE 8．（2021·四川成都市·成都七中高三二模（文））在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在正方形 ADD1A1 内， 且不在棱上，则下列结论正确的个数为（ ） ① 在正方形 DCC1D1 内一定存在一点 Q，使得 PQ / / AC ② 在正方形 DCClD1 内一定存在一点 Q，使得 PQ  AC ③ 在正方形 DCC1D1 内一定存在一点 Q，使得平面 PQC1 / / 平面 ABC ④ 在正方形 DCC1D1 内一定存在一点 Q，使得 AC  平面 PQC1 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2021·云南昆明市·高三二模（文））已知 P ， Q 的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（ ） A． ABCD  A1B1C1D1 的棱 BB1 ， CC1 上 AB  PQ B．平面 BPQ // C．四面体 D． 分别是正方体 AP // 平面 ABPQ 平面 ADD1 A1 的体积为定值 CDD1C1 ABCD  A1B1C1 D1 10．（2021·江西高三其他模拟（文））在棱长为 2 2 的正方体 中， E ､ F ､ G 分别为 棱 AB ､ AD ､ A． D1C1 的中点，则以下结论正确的为（ ） VD1  DEF  2 2 B．平面 D1 EF 与正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 的交点轨迹长度为 6  10 C． DG / / 平面 D．正方体 D1 EF ABCD  A1 B1C1D1 外接球表面积为 6 11．（2021·全国高三月考（文））如图，在四棱锥 P  ABCD