2021 年普通高等学校招生适应性考试 数学（理科） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本议卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A  {x | x 2  4 x  3  0} 3 (3,  ) A. 2 ， 3 (3, ) B. 2 B  {x | 2 x  3  0} ，则 AI B  3 (1, ) C. 2 3 ( ,3) D. 2 【答案】D 2. 设（1+i）a＝1+bi（i 是虚数单位），其中 a，b 是实数，则|a+bi|＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A. 5 1 4 B. 5 1 2 C. 5 1 4 D. 5 1 2 【答案】C 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 2 5. 设抛物线 C：y =4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 2 uuuu v uuuv FM � FN = A. 5 【答案】D B. 6 C. 7 D. 8 y2 ( x  )( x  y )5 6. 的展开式中 x3y3 的系数为（ x ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 7. 设函数 f  x   x 3   a  1 x 2  ax ．若 f  x 为奇函数，则曲线 y  f  x 在点  0，0  处的切线方程为( ) A. y  2 x B. y  x C. y  2x D. yx 【答案】D 8. 关于函数 f ( x)  sin | x |  | sin x | ①f(x)是偶函数 ③f(x)在 [, ] 有下述四个结论：  ② f(x)在区间（ 2 ,  ）单调递增 有 4 个零点 ④ f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部 分记为 III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 10. 已知抛物线 y 2  2 px 上三点 A(2, 2), B, C ，直线 AB, AC 是圆 ( x  2)2  y 2  1 的两条切线，则直线 BC A. C. 的方程为（ ） x  2 y 1  0 B. 2x  6 y  3  0 D. 3x  6 y  4  0 x  3y  2  0 【答案】B 11. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分 别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 B. 4 6 A. 8 6 C. 2 6 D. 6 【答案】D 12. 设函数 f  x   e x (2 x  1)  ax  a ，其中 a  1 ，若存在唯一 f ( x0 )  0 ，则 a 的取值 整数 x0 ，使得 的 范围是（ ） �3 �  ,1� A. � � 2e � � 3 3�  , � B. � � 2e 4 � �3 3 � , � C. � 2e 4 � � �3 � ,1� D. � 2e � � 【答案】D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. x  1 �0, 13. 若 , x y 满足约束条件 {x  y �0, x  y  4 �0, 则 y 的最大值 ． x 【答案】 3 r r r r r r a a a b b b 14. 已知向量 与 的夹角为 60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ______ . 【答案】 2 3 x2 y2  2  1(a  0, b  0) 2 b 15. 已知双曲线 C ： a 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲 线 C 的一条渐近线于交 o M 、 N 两点，若 �MAN  60 ，则 C 的离心率为__________． 2 3 【答案】 3 16. 如图在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是___________． 【答案】（ 6  2 ， 6+ 2 ） 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考试根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. Sn 为数列{ （Ⅰ）求{ （Ⅱ）设 an bn  an }的前 n 项和.已知 an ＞0， an2  2an = 4Sn  3 . }的通项公式； 1 an an 1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. 1 1  【答案】（Ⅰ） 2n +1 （Ⅱ） 6 4n  6 18. 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中，四边形 ABEF 为正方形， AF  2 FD ， �AFD  90� ，且二面角 D  AF  E 与二面角 C  BE  F 都是 60� . （1）证明：平面 ABEF  平面 EFDC ； （2）求二面角 E  BC  A 的 余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）  2 19 19 . 19. 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的 易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数． （1）求 X 的分布列； （2）若要求 P( X �n) �0.5 ，确定 n 的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 【答案】（1）见解析. n  19 与 n  20 之中选其一，应选用哪个？ （2）见解析. （3）见解析. 20. 设椭圆 C: x2  y2  1 2 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点，点 M 的坐标为 (2, 0) . （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O �OMA  �OMB 为 . 坐标原点，证明： 【答案】（1） AM 的方程为 21. 已知函数 y 2 2 x 2或y x  2 ；（2）证明见解析. 2 2 f ( x)  ( x  2)e x  a ( x  1) 2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 x1，x2 是 【答案】（Ⅰ） f ( x) 的两个零点，证明： (0, �) x1  x2  2 . ；（Ⅱ）见解析 （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. �x  3cos  , 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 参数方程为 �y  sin  , （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 � 的 �x  a  4t , （为参数） t � ． �y  1  t , （1）若 a  1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 【答案】（1） (3, 0) ， ( 17 ，求 a ． 21 24 , ) 25 25 ；（2） a  8 或 a  16 ． 23. 已知 （1）当 （2）若 f  x   x  1  ax  1 a 1 时，求不等式 x � 0,1 时不等式 . f  x  1 的解集； f  x  x 成立，求 a � 1� x x � � 【答案】（1） 2 ；（2）  0, 2 � 取值范围. 的 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢