排列与排列数 【第一课时】 【教学目标】 1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养。 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养。 【教学重难点】 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列。（重点） 2．会用排列数公式进行求值和证明。（难点） 【教学过程】 一、情境引入 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有 12 位教师参加，面 对市委领导坐成一排。 问题：这 12 位老师的坐法共有多少种？ 二、新知初探 1．排列的概念 （1）一般地，从 n 个不同对象中，任取 m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个排列。 （2）特别地，m＝n 时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。 思考：两个排列相同的条件是什么？ [提示]两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同。 1 / 20 2．排列数及排列数公式 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有排列的个数，称为从 n 排列数的定义 个不同对象中取出 m 个对象的排列数 排列数的表示 A（n，m∈N，m≤n） 排列 乘积式 A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） 数公式 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从 n 个不同对象中取出 m（m≤n）个对 象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而 “排列数”是上述完成这件 事所有不同的排列个数，它是一个数。 三、合作探究 类型 1 排列的概念 【例 1】判断下列问题是否为排列问题。 （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相 同）； （2）选 2 个小组分别去植树和种菜； （3）选 2 个小组去种菜； （4）选 10 人组成一个学习小组； 2 / 20 （5）选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班 40 名学生在假期相互通信。 [思路点拨]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关。若与 顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题。 [解]（1）中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所 以不是排列问题。 （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题。 （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题。 （5）中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于 排列问题。 （6）A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题。 所以在上述各题中，（2）（5）（6）属于排列问题。 [规律方法] 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”。 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检 验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决 定），看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题。 [跟进训练] 1．判断下列问题是否是排列问题。 （1）从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个 不同的点的坐标？ 3 / 20 （2）从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ （3）某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入 方式共有多少种？ [解]（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序 有关，所以这是一个排列问题。 （2）因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这 不是排列问题。 （3）因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题。 综上，（1）、（3）是排列问题，（2）不是排列问题。 类型 2 排列的列举问题 【例 2】（教材 P10 例 1 改编）写出下列问题的所有排列。 （1）从 1，2，3，4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ （2）写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列。 [思路点拨]（1）直接列举数字。 （2）先画树形图，再结合树形图写出。 [解]（1）所有两位数是 12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有 12 个不同的两位数。 （2）由题意作树形图，如图。 故 所 有 的 排 4 / 20 列 为 ： abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cd a，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有 24 个。 [规律方法] 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式。在操作中先将元素按一 定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前 面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这 样能不重不漏，然后按树形图写出排列。 [跟进训练] 2．（1）北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有________种机票。 （2）A，B，C，D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四， 共有________种不同的排列方法。 答案：（1）12 （2）14 解析：（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示。 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京 →天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共 12 种。 （2）因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类（可从 B，C，D 中任选一人排），而此 时兼顾分析 B 的排法，列树形图如图。 5 / 20 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DAB C，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种。 类型 3 排列数公式的推导及应用 [探究问题] 1．排列数 A 中，n，m 满足什么条件？ [提示]n，m∈N 且 m≤n。 2．等式 A＝nA 成立吗？ [提示]∵A＝，A＝， ∴A＝＝nAm－1n－1． 【例 3】（1）计算：； （2）求 3A＝4A 中的 x。 [思路点拨]（1）可直接运算，也可采用阶乘式；（2）借助阶乘式求解，注意 x 的范围。 [解]（1）法一：＝＝＝。 法二：＝＝＝＝。 （2）原方程 3A＝4A 可化为＝， 即＝，化简， 得 x2－19x＋78＝0，解得 x1＝6，x2＝13． 6 / 20 由题意知解得 x≤8． 所以原方程的解为 x＝6． [规律方法] 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以 写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的 个数，这是排列数公式的逆用。 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算， 这样往往会减少运算量。 [跟进训练] 3．（1）（55－n）（56－n）…（69－n）（n∈N*，且 n＜55）用排列数可表示为______ __； （2）不等式 A＞6A 的解集为________。 答案：（1）A （2）{2，3，4，5，6，7} 解析：（1）由（69－n）－（55－n）＋1＝15 可知，（55－n）（56－n）…（69－n） ＝A。 （2）原不等式可化为＞， 化简得 x2－21x＋104＞0，解得 x＜8 或 x＞13． 又得 2≤x≤9 且 x∈N， ∴原不等式的解集为{2，3，4，5，6，7}。 四、课堂总结 7 / 20 1．判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排 列问题，否则，不是排列问题。 2．排列数公式 A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）适合已知 m 的排列数计算，而 A ＝常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等。求解时务必注意隐含条件： n，m∈N，m≤n。 五、课堂练习 1．从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结 果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题（ A．1 B．2 C．3 D．4 ） 答案：B 解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位 置无关，故不是排列问题。而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题。 2．4×5×6×…×（n－1）×n 等于（ ） A．A B．A C．n！－4! D．A 答案：D 解析：4×5×6×…×（n－1）×n 中共有 n－4＋1＝n－3 个因式，最大数为 n，最小数为 4， 故 4×5×6×…×（n－1）×n＝A。 3．5 本不同的课外读物分给 5 位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种。 答案：120 8 / 20 解析：利用排列的概念可知不同的分配方法有 A＝120 种。 4．A－6A＋5A＝________。 答案：120 解析：原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120. 5．从 0，1，2，3 这四个数中，每次取 3 个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于 200 的所有三位数。 答案：[解]大于 200 的三位数的首位是 2 或 3，所以共有： 201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321． 【第二课时】 【教学目标】 1．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养。 2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养。 【教学重难点】 1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法。（重点） 2．能应用排列知识解决简单的实际问题。（难点） 【教学过程】 一、合作探究 类型 1 无限制条件的排列问题 【例 1】（1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不 同的送法？ （2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 9 / 20 [思路点拨]（1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，各人得到的书不同，属 于求排列数问题；（2）给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 本，各人得到哪本书相互 之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算。 答案：[解]（1）从 5 本