1.1.1 空间向量及其线性运算 【学习目标】 课程标准 1.理解空间向量的概念.(难点) 学科素养 1、逻辑推理 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 2、数学运算 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点) 【自主学习】 1、空间向量的概念及几类特殊向量 名称 空间向量 定义 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫 做向量的______ 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 2、空间向量的表示 长度或模为______的向量 ______的向量 方向______且模______的向量 ______相反且______相等的向量 空间向量可以用 a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的 点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记作AB，其模记为 表示向量的模，向量 a 的起 . 3、空间向量的加、减法运算、数乘运算 （1）a＋b=OA＋AB＝________； （2）a- b＝OA－OC＝________. （3）当 λ>0 时，λa=OA= 运算律：交换律 a＋b＝ 分配律 λ(a＋b)＝ ；当 λ<0 时，λa=OA= ；λ＝0 时，λa＝0 ______；结合律(a＋b)＋c＝ ， (λ＋μ)a＝ . 。 4、共线向量 (1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平 行向量. (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使_______ _. 5、方向向量 在直线 l 上取非零向量 a，我们把与向量 a 平行的 成为直线 l 的方向向量。也就是说直线 可以由其一点和它的方向向量确定。 6、共面向量 定义：平行于________________的向量叫做共面向量. I、证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行. II、对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)MP＝xMA＋yMB； (2)对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB； (3)对空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)； (4)PM∥AB(或PA∥MB，或PB∥AM). 【小试牛刀】 1、判断正错 (1)零向量没有方向．( ) (2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( ) (3)平面内所有的单位向量是相等的．( ) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( ) (5)任何两个向量均不可以比较大小( ) 2、在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，顶点连接的向量中，与向量AD相等的向量共有(　　) A.1 个 B.2 个　　　C.3 个　　　D.4 个 3.已知空间四边形 ABCD 中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD等于(　　) A.a＋b－c B.－a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a＋b－c 【经典例题】 题型一 空间向量概念 注意：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 例 1　给出下列命题： ① 零向量没有确定的方向； ② 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AC＝A1C1； ③ 若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相反； ④ 在四边形 ABCD 中，必有AB＋AD＝AC. 其中正确命题的序号是________. [跟踪训练] 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 C．若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD D．相等向量其方向必相同 (2)如图所示，在平行六面体 ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与 向 量 AA′ 相 等 的 向 量 有 ___ _____ ； 与 向 量 A′B′ 相 反 的 向 量 有 _ _.(要求写出所有适合条件的向量) 题型二 空间向量的线性运算 注意：1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律； 2.要注意数形结合思想的运用. 例 2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′. [跟踪训练] 2 如图，已知正方体 ABCDA′B′C′D′，点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心，求下列各式中 x，y，z 的值. (1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′； (2)AE＝xAD＋yAB＋zAA′. 题型三 向量的共线及判定 例 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对角线 A1C 上， 且A1F＝FC，求证：E，F，B 三点共线. 注意：要证 E，F，B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即 可： (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF. [跟踪训练] 3 在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点， 请判断EF与AD＋BC是否共线． 题型四 向量共面 例 4 如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 点 P 是 ABCD 所 在 平 面 外 的 一 点 ， 连 接 PA，PB，PC，PD.设点 E，F，G，H 分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA 的重心.试用向 量方法证明 E，F，G，H 四点共面. [跟踪训练] 4 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互 相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM＝BD，AN＝AE. 求证：向量MN，CD，DE共面. 【当堂达标】 1.下列说法： ① 若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ② 若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD； ③ 若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB，CD为相反向量； ④AB＝CD的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合. 其中错误的个数为(　　) A.1 B.2　　　　C.3　　　　D.4 2．向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3 3．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 4．如图所示，空间四边形 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝ 2MA，N 为 BC 中点，则MN等于(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．－a＋b－c 5、如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别 以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ① 单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量． ③ 试写出与向量AB相等的所有向量．④试写出向量AA′的所有相反向量． 6.如图，已知空间四边形 OABC，M，N 分别是边 OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用 a，b，c 表 示向量OG. 7、如图，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的 中点，F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四 边形 EFGH 是梯形. 8、已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM＝OA＋OB＋OC. (1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. 【参考答案】 【自主学习】 1、大小　方向　长度或模　1　长度为 0　相同　相等　方向　模 2、长度 |a|或|AB| 3、OB CA b＋a a＋（b＋c） λa＋λb λa＋μa 4、(1)互相平行或重合　共线向量　(2) a＝λb 5、 非零向量 6. 同一个平面 【小试牛刀】 1、× × × × √ 2、C 【解析】　与向量AD相等的向量有BC，A1D1，B1C1共 3 个. 3、C 【解析】　CD＝CB＋BA＋AD＝CB－AB＋AD＝－a＋b＋c. 【经典例题】 例 1 ①②　【解析】　(1)① 正确；②正确，因为AC与A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝| b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时， 才有AB＋AD＝AC.综上可知，正确命题为①②. [跟踪训练] 1 (1)　D 解析　A 中，向量 a，b 平行，则 a，b 所在的直线平行或重合；B 中，|a| ＝|b|只能说明 a，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选 D. (2)BB′，CC′，DD′　B′A′，BA，CD，C′D′ 解析 根据相等向量的定义知，与向量AA′相等的 向量有BB′，CC′，DD′.与向量A′B′相反的向量有B′A′，BA，CD，C′D′. 例 2 证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′， ∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)． 又∵AA′＝CC′，AD＝BC， ∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′. ∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′. [跟踪训练] 2 解：(1)因为BD′＝BD＋DD′＝BA＋AD＋DD′＝－AB＋AD＋AA′， 又BD′＝xAD＋yAB＋zAA′， 所以 x＝1，y＝－1，z＝1. (2)因为AE＝AA′＋A′E＝AA′＋A′C′＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AA′＋A′B′＋A′D′＝AD＋AB＋AA ′，又AE＝xAD＋yAB＋zAA′， 所以 x＝，y＝，z＝1. 例 3 【证明】　设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. ∵A1E＝2ED1，A1F＝FC， ∴A1E＝A1D1，A1F＝A1C. ∴A1E＝AD＝b，A1F＝(AC－AA1)＝(AB＋AD－AA1)＝a＋b－c. ∴EF＝A1F－A1E＝a－b－c＝(a－b－c)． 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴EF＝EB，所以 E，F，B