考点 09 函数与方程 此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查， 解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为： （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数 y  f ( x), x �D ，我们把使 f ( x )  0 成立的实数 x 叫做函数 y  f ( x), x �D 的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数 y  f ( x) 的零点就是方程 f ( x )  0 的实数根，也就是函数 y  f ( x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标 即方程 f ( x )  0 有实数根⇔函数 y  f ( x ) 的图象与 x 轴有交点⇔函数 y  f ( x ) 有零点． 【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数 f(x)=x2＋1，由于方程 x2＋1=0 无实数根，故该函数无零点． 3．二次函数 y  ax  bx  c (a  0) 的零点 2 0 0 0 二次函数 y  ax 2  bx  c (a  0) 的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4．零点存在性定理 如果函数 y  f ( x) y  f ( x) 在区间 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ( a, b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f (c)  0 f (a ) �f (b)  0 c ，这个 也就是方程 ，那么，函数 f ( x)  0 的根. 【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 5．常用结论 (1)若连续不断的函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数，则 f ( x ) 至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)函数 F ( x)  f ( x)  g ( x) 有零点 � 方程 F ( x )  0 有实数根 � 函数 y  f ( x) 与 y  g ( x ) 的图象有 交点； (4)函数 F ( x)  f ( x)  a 有零点 � 方程 F ( x )  0 有实数根 � 函数 y  f ( x) 与 y  a 的图象有交点 � a �{ y | y  f ( x )} ，其中 a 为常数. 二、二分法 1．二分法的概念 f (b)  0 的函数 y  f ( x) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在 对于在区间[a，b]上连续不断且 f (a ) � 的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤 给定精确度 ε，用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤如下： f (b)  0 ，给定精确度 ε； ① 确定区间[a，b]，验证 f (a ) � ② 求区间(a，b)的中点 c； ③ 计算 f(c)； a．若 f(c)=0，则 c 就是函数的零点； b．若 f(a)·f(c)<0，则令 b=c(此时零点 x0∈(a，c))； c．若 f(c)·f(b)<0，则令 a=c(此时零点 x0∈(c，b))． ④ 判断是否达到精确度 ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复②③④. 【速记口诀】 定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口． 考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 函数零点的判定方法 (1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数 0 y  f ( x) 必须在区间[a，b]上是连续的，当 f (a ) �f (b) 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点． (2)方程法：判断方程 f ( x )  0 是否有实数解． (3) 图 象 法 ： 若 一 个 函 数 ( 或 方 程 ) 由 两 个 初 等 函 数 的 和 ( 或 差 ) 构 成 ， 则 可 考 虑 用 图 象 法 求 解 ， 如 f ( x)  g ( x)  h( x) ，作出 y  g ( x ) 和 y  h( x) 的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点. 典例 1 函数 f  x   e � � 1,  A． � x  x 的零点所在的区间为 1� � 2� �1 � ,0� �2 �  B． � � 1� � � 2� �1 � �2 � 0, C． � D． � ,1� 【答案】D 【解析】易知函数 f  x  e x  x 的 图 象 是 连 续 的 ， 且 通 过 计 算 可 得 f  1  e1   1  e  1  0 ， 1 1 � 1� 2 �1� f�  � e  �  � e   0 ， f  0   e0  0  1  0 ， 2 � 2� � 2� 1 1 1 �1 �  1 f � � e 2     0， 2 e 2 �2 � 1 f  1  e 1  1   1  0 ， e �1 � �2 � . 由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为 � ,1� 本题选择 D 选项. 【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可 .判断 函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值， 进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 3 典例 2 在用二分法求方程 x  2 x  1  0 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可 以断定该根所在区间为___________. �3 �2 � � 【答案】 � , 2 � 【解析】令 f  x   x  2 x  1 ， 3 5 �3 � 27 f � �  3 1    0 ， f  1  2  0 ， f  2   8  5  3  0 ， 8 �2 � 8 �3 �2 � � �3 �2 � � .故填 � , 2 � . 故下一步可以断定根所在区间为 � , 2 � 1．若函数 f ( x)  2 x  x  7 的零点所在的区间为 (k , k  1)(k �Z) A．3 B．4 C．1 D．2 ,则 k= 2．求下列函数的零点，可以采用二分法的是 A． f ( x )  x 4 C． f ( x )  cos x  1 B． D． f ( x)  tan x  2(   x ) 2 2 f ( x)  2 x  3 考向二 函数零点个数的判断 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：令 f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结 合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有 的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交 点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 典例 3 函数 f ( x)  ( x  2) x  4 的零点个数是 2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则 由 f ( x)  0 � x  2 或 x 2  4 �0 x  2 ，即 x �2 或 x ≤ 2 ， ， 则函数的零点个数为 2. 故选 B． 典例 4 函数 f(x)=2x＋lg(x＋1) −2 的零点有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【解析】解法一：因为 f(0)=1＋0−2=−1<0，f(2)=4＋lg3−2=2+lg3>0，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在 (0,2)上必定存在零点． 又 f(x)=2x＋lg(x＋1)−2 在(−1，＋∞)上为增函数， 故 f(x)=0 有且只有一个实根，即函数 f(x)仅有一个零点． 故选 B. 解法二：在同一坐标系中作出 h(x)=2−2x 和 g(x)=lg(x＋1)的图象，如图所示， 由图象可知 h(x)=2−2x 和 g(x)=lg(x＋1)有且只有一个交点，即 f(x)=2x＋lg(x＋1)−2 与 x 轴有且只有一个交点， 即函数 f(x)仅有一个零点． 故选 B. �log 2 x  1 x  0 ，则 y  f  f  x    3 的零点个数为 x �0 3．已知函数 f  x   � �x  4 A．3 B．4 C．5 D．6 考向三 函数零点的应用问题 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象 及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ① 判断函数的单调性； ② 利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③ 解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)、f(b)与 0 的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下 三种常用方法： ① 求出零点，直接比较大小； ② 确定零点所在区间； ③ 同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小. b, a  b �1 � ,设 f  x   ( x 2  1) �(4  x ) ， 若 函 数 a, a  b  1 � 典 例 5 对 任 意 实 数 a ， b 定 义 运 算 “ ⊗ ” ： a �b  � y  f  x  