2020-2021 学年合肥一中、六中、八中联盟 高一年级第二学期期末考试 数学命题 单位：合肥六中 试卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设复数 z 满足  A. 3i 1  2i  z  4  2i B. ，则 z=（ ） 3i C. 2i D. 2i 【答案】C r r r r r 2. 已知向量 a   1, 2  ， c   m, 1 ，若 a  a  c ，则实数 m 的值为（  A. 9 【答案】B B. 7  C. 17 ） D. 21 3. 某校高一年级 15 个班参加庆祝建党 100 周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，则这组数据的 40%分位数、90%分位数分别为（ . A. 90 5，96 B. 91.5，96 ） C. 92.5，95 D. 90，96 【答案】A 4. 从装有大小和形状完全相同的 8 个红球和 2 个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对 立的是（ ） A. “至少一个白球”和“都 是 红球” B. “至少一个白球”和“至少一个红球” C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球” D. “恰有一个白球”和“都是红球” 【答案】D 5. 设 ①若  ，  //  是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ， a // ，则 a // 或 ） a � ② 若 a   ， b   ，则 a //b ③若 ④若 a  ，   a ， A. ①②③ ，则 I  b  // r r a a �  a ， ，  b ，则 B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 6. 在一次体检中，甲、乙两个班学生 其中 身高统计如下表： 的 班级 人数 平均身高 方差 甲 20 x甲 10 乙 30 x乙 15 x － x ＝5，则两个班学生身高的方差为（ ） 甲 乙 A. 19 B. 18 C. 18.6 D. 20 【答案】A 7. 在一个掷骰子的试验中，事件 A 表示“向上的面小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“向上的面小于 4 的 点出现”，则在一次试验中，事件 A �B 发生的概率为（ 2 B. 3 1 A. 2 ） 1 C. 3 5 D. 6 【答案】B 8. 在 VABC 中，已知 a  c cos A  b  c cos B ，则 VABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 9. 如图，矩形 ABCD 中， AB  3 ，正方形 ADEF 的边长为 1，且平面 ABCD  平面 ADEF ，则异面 直线 BD 与 FC 所成角的余弦值为（ ） 7 7 A.  7 B. 7 5 C. 5 D.  5 5 【答案】C 10. 如图，在 ABC 中， AB  BC  PBD 的位置，使 则该球的表面积是 PC  PD ，连接 6 ， �ABC  90� ，点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折起到 PC ，得到三棱锥 P  BCD ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面， A.  B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AD  2 AB  2 ， �BAD  120� ，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD uuuu r uuur AM � BD 的最大值是（ ） 相切的圆上，则 3 B. 3  2 A. 3  3 3 C. 5  3 D. 5  2 【答案】A 12. 已知四棱锥 P  ABCD 的底面是边长为 8 的正方形， PD  平面 ABCD ，且 PD  4 ，E，F，M 为 PA ， PC ， AB 的中点，则经过 E，F，M 的平面截四棱锥 B. 30 2 A. 24 2 P  ABCD C. 36 2 的截面面积为（ D. 42 2 【答案】B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在 VABC 中， B 2 3 ， AC  7 ， AB  1 ，则 BC  _______. 【答案】2 14. 底面直径为 2 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为________. ） 【答案】 3 15. 在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为 0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通 过的概率为__________. 【答案】0.9 16. 在 VABC 中，角 A，B，C 满足 sin A  3sin B  3sin C  2 3 sin A sin B sin C ，则 C  _____. 2 【答案】 2 2  6 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.其中第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分.解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数 z   1  ai   1  i   2  4i  a �R  . x y 0 a z （1）若 在复平面中所对应的点在直线 上，求 的值； （2）求 z 1 的取值范围. 【答案】（1） a  1 � 7 2 � � � ；（2） � 2 , �� �. 18. 某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在  0.65,0.7  （难度 系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为 100 分的试卷平均分为 68 分，则难度系数 68  0.68 ），某次数学考试（满分 100 分）后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级 1800 100 人的成绩情况，已知学生的成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据， 回答下列问题： （1）试估算该校高一年级学生获得等级为 B 的人数. （2）若等级 A，B，C，D，E 分别对应 90 分，80 分，70 分，60 分，50 分，请问按王老师的估计：本次考 试试卷命制是否符合要求. 16 名学生（其中男生 4 人，女生 12 人）先找 4 人进行单独辅导，按分层抽 （3）王老师决定对成绩为 E 的 样抽取的 4 人中任取 2 人，求恰好抽到 1 名男生的概率. 1 【答案】（1）252 人；（2）符合要求；（3） 2 . b sin A  sin C  19. 已知 VABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a  c sin B  3 sin C . （1）求 A； （2）若 VABC 的面积为 2，求 VABC 的周长的最小值. 【答案】（1） A 20. 如图，三棱柱  6 ；（2） 2 3  4 2  2 . ABC  A1 B1C1 中，侧面 ABB1 A1 是边长为 2 的菱形，且 21 BC  在 CC1 ， AB1 上，且 MC1  GB1  a ， 2 . �ABB1  60� ，点 M，G 分别 （1）证明：直线 MG // 平面 A1 B1C1 . （2）若点 G 恰好是点 C1 在平面 ABB1 A1 内的正投影，此时 a 3 2 ，求三棱锥 M  A1 B1C1 的体积. （注：本大题用空间坐标系解题一律不给分） 3 【答案】（1）证明见解析；（2） 4 . 21. 合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人 美好记忆的承载地.2020 年 8 月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形 ABCD 的区域进行改 造，如图所示，其中 休闲娱乐的区域， （1）当 �ADC  DC  4a △ ABD 米， DA  2a 米， VABC 为正三角形.改造后 将作为对三国历史文化的介绍区域.  3 时，求旅游观光、休闲娱乐的区域 △ BCD 的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域 △ BCD 的面积的最大值. △ BCD 将作为人们旅游观光、     m . 2 2 【答案】（1） 4 3a m ；（2） 4  4 3 a 22. 如图，在直三棱柱 （1）求证： ABC  A1 B1C1 AC  B1C 2 2 中， BD  平面 AB1C ，其垂足 D 落在直线 B1C 上. ； 3 （2）若 P 是线段 AB 上一点， BD  3 ， BC  AC  2 ，三棱锥 B1  PAC 的体积为 3 ，求二面角 P  B1C  A 的平面角的正弦值. 13 【答案】（1）证明见解析；（2） 13 . 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635