2020─2021 学年第一学期第三次月考 高二年级数学（文科）试题 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) o 1. sin 600  1 A． 2 (　　) 3 B. 2 1 C． 2  D．  3 2 � � 2. 2020 是等差数列 2, 4, 6,8,� 的 A．第 1008 项 (　　) B．第 1009 项 C．第 1010 项 D．第 1011 项 2 2 2 3.在 ABC 中，若 sin A  sin B  sin C ,则 �A  A． 45 0 B． 750 C． 900 （ ） D． 600 4.原命题是“若 a  0, 则 ab  0 ”,则它的否命题是 A．若 ab  0, 则 a  0 (　　) B．若 a �0, 则 ab �0 C．若 a �0, 则 b �0 D．若 ab �0, 则 a �0 ur ur ur r ur r   0 q :  �   0 ,则 P 是 q 的 P :  =0 5. 向量 或 , (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 x2 y2  1 6.当 m  2 时,方程 5  m 2  m 表示的曲线是 A．焦点在 x 轴的椭圆; B．焦点在 y 轴的椭圆; C．双曲线; D．圆. ( ) 2 7.“存在实数 x ,使得 x  x  1  0 ”的否定是 ( ) 2 A．对任意的实数 x ,使得 x  x  1  0 ; 2 B. 对任意的实数 x ,使得 x  x  1 �0 ; 2 C．存在的实数 x ,使得 x  x  1 �0 ; 2 D．不存在的实数 x ,使得 x  x  1  0 . 8.“ a  b  2c ”的一个充分条件是 A． a  c 或 b  c ( B． a  c 且 b  c C． a  c 且 b  c 2 9.抛物线 y  x 的焦点坐标是 A． (1, 0) 1 ( , 0) B． 2 ) D． a  c 或 b  c (　　) 1 ( , 0) C． 4 1 ( , 0) D． 8 10.将实轴长等于虚轴长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线离心率等于 ( A． 5 B． 2 C． 3 D． 2 2 2 2 11.圆 x  y  6 x  7  0 与抛物线 y  2 px( p  0) 的准线相切，则 p  A． 1 B． 2 1 C． 2 (　　) D． 4 a b  12.“ a, b, c 成等比数列”的一个必要条件是:①. b  ac ; ②. b  ac ; ③. b c . 2 其中正确命题序号是 A．① B. ③ ( C．①③ ) D．②③ 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)． y2  x2  1 13.双曲线 4 的渐近线方程是 2 14.不等式  x  3x  4  0 的解集 ) . .(用区间表示) x2 y 2  1 4 15.直线 y  kx  k  1 与椭圆 9 的位置关系是 . 16.椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 (2, 0) ,则该椭圆标准方程是 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) 2 17 ． ( 本 小 题 10 分 ) 求 证 : 方 程 “ ax  bx  c  0 有 一 解 为 1” 的 充 要 条 件 是 “ a  b  c  0 ”. 18. (本小题 12 分) 已知数列 {an } 中, an  2n  1 . (1)求证:数列 {an } 是等差数列; (2)若数列 {an } 的前 n 项和 S n  25 ,求 n . 19.(本小题 12 分) 设 F1、F2 是双曲线 x2  y2 1 2 的左、右焦点,点 P 在该双曲线 上，且 PF1  PF2 ,求 PF1 F2 的面积. 2 2 x 3 1 20.(本小题 12 分) 设 P : 实数 x 满足 x  4ax  3a  0, q : 实数 x 满足 . (1)若 a  1 ,且“ p �q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 a  0 且“ �p 是 �q ”的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 2 21. (本小题 12 分) 设抛物线 C : y  2 x 的焦点为 F , 点 A(2, 0), B (2, 0), 直线 l 过 A 点且与抛物线 C 交于 M , N 两点. (1)当 l  x 轴（ M 在 x 轴上方）时,求直线 BM 的方程; (2)设直线 BM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 , 证明: k1  k2  0 . 22.(本小题 12 分) 椭圆 C: x2 y 2 2  2  1(a  b  0) 2 a b 的离心率为 2 ，它的四个顶点 构成的四边形面积为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率不为 0 的直线 l 过椭圆的右焦点 F 且与椭圆交于 A, B 两点, O 为原 点,求 OAB 面积的最大值. 2020---2021 第一学期第三次月考 高二文科数学评分细则 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) DCCBA ABCCD BC 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)． 13. 2 x �y  0 14. (4,1) x2 y 2 x2  y2  1  1 15.相交 16. 4 或 16 4 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 2 17．(本小题 10 分) 求证:方程“ ax  bx  c  0 有一解为 1”的充要条件是“ a  b  c  0 ”. 证明：充分性 当 a  b  c  0 时，1 是方程 ax  bx  c  0 的解；…………5 分 2 2 必要性 当方程 ax  bx  c  0 的解是 1 时， a  b  c  0 . …………10 分 2 综上，方程“ ax  bx  c  0 有一解为 1”的充要条件是“ a  b  c  0 ”. 18. (本小题 12 分) 已知数列 (1)求证:数列 (2)若数列 {an } 中, an  2n  1 . {an } 是等差数列; {an } 的前 n 项和 Sn  25 ,求 n . (1)证明: 由 an  2n  1 得 an1  an  2 ,又 a1  1 ,所以数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的 等差数列. (2)解:由(1)得 …………6 分 Sn  n(a1  an )  n 2  25 2 ,所以 n  5 . …………12 分 y2 x  1 F ,F 2 19.( 本 小 题 12 分 ) 设 1 2 是 双 曲 线 的左右焦点,点 P 在该双曲线上，且 2 PF1  PF2 ,求 PF1 F2 的面积. 解法 1:由 PF1  PF2 知,点 P 在以 F1 F2 为直径的圆 x 2  y 2  3 上, �2 y 2 1 2 �x  � y  2 � 3 �x 2  y 2  3 � 1 1 2 F1F2 �y  �2 3 �  2 PF1 F2 的面积为 2 2 3 所以 2 解法 2:依题意得 2 2 PF1  PF2  F1F2 , PF1  PF2  2a, 2 …………12 分 2 2 PF1 �PF2  PF1  PF2  PF1  PF2 因此 2 2  F1 F2  4a 2  4c 2  4a 2  4b 2  8 1 PF1 F2 的面积为 2 PF1 �PF2  2 所以 解法 3：设 P ( x, y ) ，则由 k PF1 � k PF2  …………12 分 PF1  PF2 , F1 ( 3, 0), F2 ( 3, 0) ，得 y y �  1 2 2 x 3 x 3 ，即 x  y  3 ，以下同解法 1（略） …………12 分 2 2 x 3 1 20.(本小题 12 分) 设 P : 实数 x 满足 x  4ax  3a  0, q : 实数 x 满足 . (1)若 a  1 ,且“ p �q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 a  0 且“ �p 是 �q ”的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. x  4 x  3  0 � ( x  1)( x  3)  0 � 1  x  3 , 解: (1)当 a  1 时, P : 2 q : x  3  1 � 1  x  3  1 � 2  x  4 因为“ p �q ”为真,所以 p, q 都真,解得 x �(2,3) …………6 分 (2)依题意知,当 a  0 时, q � p ,由于 p : x 2  4ax  3a 2  0(a  0) � ( x  a )( x  3a )  0 � a  x  3a(a  0) , q:2  x  4 因此 �a  0 � �a �2 � 3a  4 � 或 �a  0 � �a  2 � 3a �4 � 4 a �[ , 2] 3 ,解得 …………12 分 2 21. (本小题 12 分) 设抛物线 C : y  2 x 的焦点为 F , 点 A(2, 0), B (2, 0), 直线 l 过 A 点且 与抛物线 C 交于 M , N 两点. (1)当 l  x 轴（ M 在 x 轴上方）时,求直线 BM 的方程; (2)设直线 BM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 , 证明: k1  k 2  0 . 解：(1)易得 M (2, 2) ,而 B (2, 0), 可得直线 BM : x  2 y  2  0 …………5 分 (2)法 1：