“皖南八校”2020 届高三摸底联考 数学（理科） 2019.8 考生注意： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两郜分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3. 本卷命题范围：必修①~⑤。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 A. A   x | x 2  5 x  0 ， B   x | x 2  4 �0 ，则 A I B  （  x | 0 �x  5 B.  x | 0 �x  2 C.  x | 0  x  5 ） D.  x | 0  x �2 2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取 2 种 进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ 2 A. 3 1 B. 2 � 7 tan �  3. 若 � 4 A. 3 ） �1 � ，则 � 3 tan   （ 1 C. 3 1 D. 4 C. 2 D. -2 ） B. -3 uuu r uuu r uuu r r BC  3 ，则 uur uuu 4. 已知 AB   3, 2  ， AC   m,1 ， BA � AC  （ A. 7 5. 函数 f  x   B. -7 x  2 x  2 x  2  cos x 的部分图象大致为（ C. 15 ） ） D. -15 A. B. C. D. 6. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位 的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值 为（参考数据： 3 �1.732 ， sin15o �0.2588 ， sin 7.5o �0.1305 ） A. 24 B. 32 C. 38 D. 46 � 3 , 4  7. 下列函数中，以 2 为周期且在区间 � �2 A. � �上单调递减的是（ � f  x   cos 2 x C. f  x   2 sin x cos x 8. 已知 A. a  log 5 0.5 abc ， b  log3 0.3 B. ， c  0.5 bac 0.3 ） B. f  x   sin 2 x D. f  x   2sin 2 x  1 ，则（ C. 9. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） acb ） D. bca A. C. 8  2 B. 12  2 D. 8  12   1 1 2 1   10. 数列  an  满足 an an  2 an 1 ， a1  1 ， a8  15 ， bn  an an 1 ，数列  bn  的前 n 项和为 S n ，则满足 Sn  11 23 的最小的 n 的值为（ A. 9 ） B. 10 C. 11 D. 12  �AD1B  ABCD  A B C D BC  CC  1 1l. 在长方体 ， 1 1 1 1 中， 1 3 ，则直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 （ ） 3 6 A. 3 B. 6 12. 设函数 f  x 的定义域为 R ，且满足 x � �, t  时， f  x �5 14  2 � � 4 � �2 7 14 C. 7 f  x  1  2 f  x  D. 14 ，当 x � 0,1 的最大值为 1，则实数 t 的取值范围是（ ） � 5 14  2 � � � 2 4 � � A. � �, B. � , � 3 2� 2, � C. � � � 2 � �3 2� 2, � D. � � � 2 � 时， f  x   x  x2 .若 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. �x  2 y �3 � x �1 13. 若 ， 满足约束条件 � ，则 的取值范围是______. �y �1 z  x  2y � x y 14. 某校高三年级有 400 名学生，在一次数学测试中，成绩都在  80,130 （单位：分）内，其频率分布直 方图如图，则这次测试数学成绩不低于 100 分的人数为______. � �  �� ,  � 15. 已知 �2 �， 2sin 2  cos 2  1 ，则 sin   ______. 16. 已知点 P 是函数 y  x 3 2 x 的图象上的一点，则点 P 到直线 x  2 y  1  0 的距离的最小值为______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在等比数列  an  中， a3  4  a2  a1  ，且 a4 ， a5  4 ， a5 成等差数列. （1）求数列 （2）若  an  的通项公式； bn  an  log 2 an ，求数列  bn  的前 n 项和 Tn . 18.（本小题满分 12 分） 在锐角 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 （1）求角 C ； b cos A  c sin B  sin B  cos B  . （2）若 a  3 2 ， c  4 ，求 b 的值. 19.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P  ABCD 中， PD  平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形， E ， F ， G 分别是棱 BC ， AD ， PA 的中点. （1）求证： PE P 平面 BFG ； （2）若 PD  AD  1 ， AB  2 ，求点 C 到平面 BFG 的距离. 20.（本小题满分 12 分） 影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样 的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上 海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）. 地区 职工平均工资 x 城镇居民消费水平 y 上海 江苏 浙江 安徽 福建 9.8 6.9 6.4 6.2 5.6 6.6 4.6 4.4 3.9 3.8 $ $ $ （1）利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平，求出线性回归方程 y  bx  a ， n 其中 $ b  � xi  x i 1  yi  y � x  x  n i 1 i 2  �x y  nx y n  i 1 n i i �x i 1 2 i  nx 2 ， $ a  y $ bx ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 1 万，则认为得到的线性回归 $ 方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（ b 的结果保留两位小数） （参考数据： 6.9 �4.6  6.4 �4.4  6.2 �3.9  84.08 ， 6.92  6.4 2  6.2 2  127.01 ） 21.（本小题满分 12 分） 已知圆 C 的圆心 C 的坐标为 C 相交于 M ， N  1, 2  ，且圆 C 与直线 l ： x  2 y  7  0 相切，过点 A  2, 0  的动直线 m 与圆 两点，直线 m l 与直线 的交点为 B . （1）求圆 C 的标准方程； （2）求 MN 的最小值； uuur uuur uuu r AM  AN � AB （3）问： 是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.   22.（本小题满分 12 分） 已知函数 f  x  x  1 � � � 1� k 0,  2k ，当 x �� , 2 �时， f  x  的取值范围是 � 2 � � � 2� �. x （1）求 k 的值； （2）若不等式 （3）若函数 f  2 x  �m � 2 x 对 x �R 恒成立，求实数 m 的取值范围；   g  x   f 2x 1  2t  3t 有 3 个零点，求实数 的取值范围. 2 1 t x “皖南八校”2020 届高三摸底联考·数学（理科） 参考答案 一、选择题： 1-5：DBCBC 6-10：ADBAD 11、12：DA � 3 � , � 4 �上递减，选 D.  7. D 周期为 2 的有 C 、 D ，又在 � �2 8. B ∴ a  b   log 5 1  log 5 2    log 3 3  log 3 10    log 3 2  1  log5 10  log 3 10  log 5 10  0 . ab ，∵ c0 ， a0 ，∴ bac . 9. A 该几何体是一个棱长为 2 的正方体左右两旁各去掉半径为 1 的半个圆柱得到的，体积为 23  2  8  2 .  �AD1 B  BC  2 AD  BC  2 BC  CC  1 11. D 长方体中， ， ， ，由 1 1 1 1 3 ，知 AB  6 ，∴在 AB1 D1 中， AB1  B1 D1  7 ， cos �B1 AD1  2 14  14 .又∵ BC1 P AD1 ，∴ �B1 AD1 是 AB1 与 BC1 2 7 所成的角. 二、填空题