学员姓名： 学科教师： 年 级： 主 辅导科目： 第 13 讲-正切函数和余切函数的图像与性质 题 学习目标 1、让学生掌握正切函数的图像，性质 2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等 教学内容 【知识梳理】　 三角函数是高一下学期贯穿整个学期的知识点，认识与了解形如 的函数的图像及其性质应用有 着举足轻重的作用，学习三角函数图像的变换可以熟练的解决函数的平移、伸缩和旋转变换的问题. 1. 函数 的实际意义； 2. 函数 图像的变换（平移变换和伸缩变换）. 一般的，函数（其中）的图像可由“五点法”或图像变换法得到． （1）“五点法”：先求出当为时相对应的值，其次分别求出对应的值，再列表、描点、连线，最后根据函数的周期 性，将图像向左、右无限扩展，即可得在上图像． （2）图像变换法：一般可按下述步骤进行： ① 振幅变换：当时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当时，图像上各点的纵坐标缩短到原来 的倍（横坐标不变）． ② 平移变换：当时，图像上所有点向左平移个单位；当时，图像上所有点向右平移个单位． ③ 周期变换：当时，图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；当时，图像上各点的横坐标伸长为原来 的倍（纵坐标不变）． 题型一：函数的图像 例 1、作出 的图像. 【解析】利用“五点法”作出函数 令 当 在一个周期 上的图像： ，则 取 时，可相应取得 和 的值，得到“五点”，再描点作图. 变 式练习 1：将函数 （ 的周期扩大到原来的 2 倍，再将函数图象左移 ，得到图象对应解析式是 ） A． B． C． D． 【答案】 题型二： 函数 的图像与性质 例 2、如图为一半径为 3 米的水轮，水轮圆心 O 距离水面 2 米，已知水轮每分钟旋转 4 圈，水轮上的点 离 则有 ( (米)与时间 (秒)满足函数关系 A． B． C． 【答案】 ) D． 提示：周期 例 3、若函数 的图象（部分）如下图所示，则 和 的取值是 （ ） 到水面距 ， A． ， B． ， C． 【答案】C 提示：由图象知， 又当 时， ，∴ ， ，当 ，∴ . ， 时， . 变式练习：函数 y 有最小值 ， D． 在同一周期内，当 时，y 有最大值 ；当 时， ，求此函数的解析式。 答案： 变式练习 2：使得函数 A、 B、 C、 为奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ B ） D、 例 4、若函数 f(x)＝sin2x＋acos2x 的图象关于直线 x＝－ 对称，则 a＝–1 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称 性 解：∵x1＝0，x2＝－ 是定义域中关于 x＝－ 对称的两点 ∴f(0)＝f(－ ) 即 0＋a＝sin(－ )＋acos(－ ) ∴a＝－1 变式练习：若对任意实数 a，函数 y＝5sin( 且不多于 8 次，则 k 的值是( A2 )(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］上的值 出现不少于 4 次 ) C3或4 B4 πx－ D2或3 分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与 k 相关的周期 T 的取值范围，再求 k 解：∵T＝ 又因每一周期内出现 值时有 2 次，出现 4 次取 2 个周期，出现 值 8 次应有 4 个周期 ∴有 4T≥3 且 2T≤3 即得 ≤T≤ ，∴ ≤ ≤ 解得 ≤k≤ ，∵k∈Ｎ，∴k＝2 或 3 答案：D 例 5、试对实数 的不同取值，讨论方程 答案： 上解得个数。 变式练习 1：如图是 图像的一部分，求这个函数 的解析式。 答案： 变式练习 2：如图，是函数 的图像的一部分，求 的值。 答案： 例 6、已知函数 （1）求函数 的最小正周期和最大值； （2）在执教坐标系中，画出函数 答案：（1） 在区间 上的图像。 所以 的最小正周期为 ，最大值为 ； （2）五点作图法（略） 【课堂练习】 的最小正周期是 1．函数 ． 【答案】 （ 2．已知函数 右图所示，则函数的解析式为 ）的一段图象如 ． 【答案】 3．已知函数 （ ），该函数的图象可由 （ ）的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】 ①由 的图象向左平移 个单位得 ② 再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 图象， 得 图象， ③ 再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍得 ④ 最后将所得图象向上平移 个单位得 【解析】（1）本题的关键在于化简得到 左平移 个单位了． 图象， 的图象． 的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向 的单调递减区间是 4．函数 ． 【答案】 在 5．函数 上的单调递增区间是_______________． 【答案】 图像的一条离直线 6．函数 最近的对称轴方程是 ． 【答案】 7．已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，则 . 【答案】 的最小正周期和最大值分别是（ 8．函数 A、 ，1 B、 C、 ） D、 【答案】A 9．设定义在 上的函数 A、在区间 C、在区间 ，则 上是增函数 上是增函数 B、在区间 D、在区间 （ ） 上是减函数 上是减函数 【答案】A 10．函数 的图像关于原点对称的充要条件是 （ ） 的最小值为 A、 B、 C、 D、 【答案】 的最小值是 11．函数 ． 【答案】 的最大值是 12．函数 【答案】 ，最小值是 ． ， （ 13．设函数 为常数）的最大值为 1，最小值为 ，则 的最大值是 【答案】5 的图像为 14．函数 ① 图像 关于直线 ③ 函数 ，如下结论中正确的是 对称； ② 图像 (写出所有正确结论的编号) ． 关于点 对称； )内是增函数； ④由 的图像向右平移 个单位长度可以得到图像 ． 【答案】①②③ 【解析】函数 ① 图像 的图像为 C， 关于直线 ② 图像 C 关于点 ③ 对称，当 对称，当 时， 时，图像 C 关于 时，恰好为关于点 ，∴ 函数 在区间 对称；①正确； 对称；②正确； 内是增函数；③正确； ． ④由 的图像向右平移 个单位长度可以得 ，得不到图像 . ④ 不正确.所以应 填①②③． ，在使 15．对于函数 成立的所有常数 数 中，我们把 的“下确界”为 的最大值称为函数 的“下确界”，则函 在区间 上恒成立，则 . 【答案】0 能使得不等式 16．若函数 实数 的取值范围是 ． 【答案】 （其中 17．设函数 个最高点的横坐标为 （1）求 的图像在 轴右侧的第一 ． 在区间 ；（2） 上的最小值是 的定义域为 的最小正周期和最值． ；最大值为 ，求 的值； ； 18 ． 已 知 函 数 【答案】 ），且 的值； （2）如果 【答案】（1） ， ，最小值 ． ，值域 ，试求函数