抛物线和简单几何性质 (1) 教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并 掌握抛物线的 几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质． (二)能力训练点 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系 概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题． 教材分析 1．重点：抛物线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．) 2．难点：抛物线的几何性质的应用． (解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式． [来源:学科网] (解决办法：引导学生证明并加以记忆．) 　 教学设计 　　【情境设置】 [来源:学#科#网] 　　由一名学生回答，教师板书． 　　问题 抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标 准方程是 ． 　　与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质． 　　下面我们根据抛物线的 标准方程： 来研究它的几何性质． 　　【探索研究】 　　1．抛物线的几何性质 　　（1）范围 　　因为 ，由方 程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 　　（2）对 称性 　　以 代 抛物线的轴． ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做 　　（3）顶点 　　抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 物线的顶点就是坐标原点． 时 ，因此抛 　　（4）离心率 　 　抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛 物线的定义可知 　　（4）焦半径：|PF|=x+p/2 （5）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的通径。长度：2P 其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得 ，教师用投影仪给出来表让学 生自己填表。 　　再向学生提出问题 ：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么 特点？ 　　学生和教师共同小结： 　　（1）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 　　（2）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 　　（3）抛物线的离 心率是确定的，为 1． 　【例题分析】 例 1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 的标准方程， 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过 　　点M (2, 2 2 ), 所以，可设它的标准方程为y 2 2 Px( P  0) 　　因为点在抛物线上，所以，即 M (2 2) 2  2 P � 2 2 因此，所求抛物线的标准方程是 y =4 x p2 ，求它 变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, 2 2 )的抛物线有几条,求它的标 准方程. 例 2．斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点，求 线段 AB 的长. 解：解法 1 F(1 , 0)， l的方程为：y  x  1 �y  x  1 � x2  6 x  1  0 �2 �y  4 x � � �x  3  2 2 �x  3  2 2 � �1 或 �2 �y1  2  2 2 �y2  2  2 2 AB = (x1 - x2)2 +(y1 - y2)2 =8 　　 解法 2 F (1 , 0), l的方程为：y  x  1 �y  x  1 � x2  6x  1  0 �2 y  4 x � ⇒x 1+x 2=6, xx 1 2=1  AB   1  k  [ x 2 1  x2   4 x1 x2 ] 2 = � 1  12 � 62  4 �1� � �� � � 8 解法 3 F(1 , 0), l的方程为：y  x  1 �y  x  1 � x2  6x  1  0 �2 �y  4 x ⇒x 1+x 2=6, x x 1 2=1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8 解法 4：略 【当堂练习】 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x-4y-12=0 上， 那么抛物线通径长是_______. 2.过抛物线 y2＝8x 的焦点,作倾斜角为 0 45 的直线,则被抛物线 截得的弦长为_________ 3.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y2=4x 于 A、B,且|AB|=43 ,求直线 AB 的方程. 课堂小结 1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题; 3.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于 1；它只有 一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线． 布置作业 课本 P64：A 组 6，B 组 2　　 　　板书设计 教案点评： 　　本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性 质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。通过两道例题和练习进一步 让学生掌握性质的运用。