华中师范大学第一附属中学 2019 届高三 5 月押题考试 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1．已知复数 z i  1  3i  r 1  i ，则其共轭复数 z 的虚部为（ A． 1 C． 2 B．1 2．已知集合 ） D．2 � 1 x � A  �x �0 � ，集合 B   x y  lg  2 x  1  ，则 A �B =（ � x � 1� 0, � B． � � 2� A．  0,1 �1 � ,1 C． � �2 � � ） �1 � , �� � D． �2 � 2 r r r r r r 3．设 a ， e 均为单位向量，当 a ， e 的夹角为 3 时， a 在 e 方向上的投影为（ 3 1 A．  2 4．已知等差数列  A． a6 B．  2 an  3 1 C． 2 D． 2 a  满足 4a3  3a2 ，则数列 n 中一定为零的项是（ B． a7 C． a8 ） D． ） a9 5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（以下称合格考）和选择性考试（以下称选 择考）． 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序， 评定为 A、B、C、D、E 五个等级．某试点高中 2018 年参加“选择考”的总人数是 2016 年参加“选择考”的总 人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，现统计了该校 2016 年和 2018 年“选择考”的成 绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”的情况，2018 年与 2016 年相比较，下列说法中正确的是（ ） A．获得 A 等级的人数减少了 B．获得 B 等级的人数增加了 1．5 倍 C．获得 D 等级的人数减少了一半 D．获得 E 等级的人数相同 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ A． 22019  1 B． 22019  2 � 2 f  x   cos � 2x  7．设函数 3 � 得到函数 g  x 的图像，若  A． 6 g  x C． ） 22020  1 D． 22020  2 � � 3 � � sin �2 x  � 2 �，将函数 f  x  的图像向左平移     0  个单位长度， � � 为偶函数，则  的最小值是（  B． 3 2 C． 3 ） 5 D． 6 1 n S   1 a    n n a 8．设数列  n  的前 n 项和为 S n ，满足 2n ，则 S1  S3  S5 =（ A．0 9．已知抛物线 5 B． 64 C : y 2  2 px  p  0  17 C． 64 ） 21 D． 64 ，过其焦点 F 的直线与 C 交于 A ， B 两点， O 是坐标原点，记 AB  3 FB  △ AOB 的面积为 S ，且满足 3 2 S ，则 =（ p 2 1 ） 3 A． 2 C． 2 B．1 D．2 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） 28 7 A． 27  28 21 D． 9  28 7 B． 9  28 21 C． 27  �x ln x  2 x, x  0, � f  x   �2 3 11．已知函数 ， 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 x  x, x �0, � g  x   kx  1 f  x  � 2 y  1 的对称点在 g  x  的图像上，则 k 的取值范围是（ �1 3 � , � A． � �3 4 � 12．在 △ ABC �1 3 � , � B． � �2 4 � 中， A 下列结论中错误的是（ 、 A． A 2 5 B 、 C ） �1 � ,1� C． � �3 � 为其三内角，满足 tan A �1 � ,1� D． � �2 � ， tan B ， tan C 都是整数，且 A BC ，则 ） B． B  3 C． A 4 9 D． B 5 12 二、填空题： � �  a5  1  x  ，则 a2 =______． 13．已知  2  x   a0  a1  1  x   a2  1  x   � 5 14．已知双曲线 C: 2 5 x2 y 2   1 a  0, b  0  的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，以线段 F1 F2 为直径的圆交 C a 2 b2 的一条渐近线于点 P （ P 在第一象限内），若线段 PF1 的中点 Q 在 C 的另一条渐近线上，则 C 的离心率 e =______． 15．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件 按如图方式连接而成，若元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则该部件正常工作．由大数据统 N 计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 （1000， 102 ）．且各个元件能否正 常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取 1000 台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独 立），那么这 1000 台仪器中该部件的使用寿命超过 1000 小时的平均值为______台．   16．已知正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 的棱长为 2， P 为体对角线 BD1 上的一点，且 BP   BD1  � 0,1 ， 现 有 以 下 判 断 ： ① A1 D  C1 P ； ② 若 BD1  平 面 PAC ， 则  1 3 ； ③ △ PAC 周 长 的 最 小 值 是 � 2� 0, � � 2 2  2 3 ；④若 △ PAC 为钝角三角形，则  的取值范围为 � 3 �．其中正确判断的序号为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． 在 △ ABC 1．求 2．若 中， sin B �BAC  90o ， AD 是 �BAC 的内角平分线，点 D 在线段 BC 上，且 BD  2CD ． 的值； AD  1 ，求 △ ABC 的面积． 18． 如图，在等腰梯形 痕把 △ ADE ABCD 折起，使点 1．证明： AE  PB ； 中， D AB //CD 到达点 P ， AD  AB  BC  1 的位置（ P� 平面 ABCE ， CD  2 ）． ，点 E 为 CD 中点，以 AE 为折  2．若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 4 ．求二面角 A  PE  C 的余弦值． 19． �2 3 3� 2 2 x y 已知，点 M � �3 , 3 � �在椭圆 C : 2  2  1 a  b>0  上，且点 到 的左、右焦点的距离之和为 � � a b M C 2 2． 1．求 C 的方程； uur uuu r O C OM O OA � OB AB M 2．设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值范围． 20． 武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风 景区等等． 1．为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在 22 岁到 52 岁的游客中随机抽 取了 1000 人，制成了如下的频率分布直方图： 现从年龄在  42,52 内的游客中，采用分层抽样的方法抽取 10 人，再从抽取的 10 人中随机抽取 4 人，记 4 人中年龄在  47,52 内的人数为  ，求 P    3 ； 2．为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在 2020 年劳动节当日投入至少 1 艘至多 3 艘 A 型游船供游客乘坐观光．由 2010 到 2019 这 10 年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量 X （单 位：万人）都大于 1．将每年劳动节当日客流量数据分成 3 个区间整理得下表： 劳动节当日客流量 X 1 X  3 3 �X �5 X 5 2 4 4 频数（年） 以这 10 年的数据资料记录的 3 个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节 当日客流量相互独立． 该游船中心希望投入的 A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日 A 型游船最多使用量（单位：艘） 要受当日客流量 X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量 X A 1 X  3 3 �X �5 X 5 1 2 3 型游船最多使用量 若某艘 A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润 3 万元；若某艘 A 型游船劳动 节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损 0．5 万元．记 Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动 节当日获得的总利润， Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在 2020 年劳动节当日应投入多少艘 A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？ 21． 1 f  x    x  1 e x  ax 2  2ax 已知函数 ， a �R ． 2 1．讨论 2．若 f  x 极值点的个数； x0  x0 �2  是 f  x 的一个极值点，且 f  2   e 2 ，证明： f  x0  �1 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] ． �x  3cos  在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 � （ 为参数），在以原点为极点， 轴正 �y  3 sin   xOy x C � � 2  sin   � � 半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 l � 4� 2 ． 1．求曲线 2．设点 C l 的普通方程和直线 的直角坐标方程； P  1, 0  ，直线 l 和