绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分 150 分。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 A．{−2，3} � U ( A U B)  B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 2．若 α 为第四象限角，则 A．cos2α>0 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大 幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份 订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货， 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环 绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环 多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石 板(不含天心石) A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 5 2 5 A． 5 6．数列 中， A．2 a1  2 ， am  n  a m a n B．3 的距离为 3 5 B． 5 {an } 2x  y  3  0 C． 5 .若 4 5 D． 5 ak 1  ak  2  L  ak 10  215  25 C．4 ，则 k  D．5 7．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对 应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为 A． E B． F C． 8．设 O 为坐标原点，直线 x  a 与双曲线 若 △ ODE 的面积为 8，则 A．4 9．设函数 C C: G D． H x2 y 2   1(a  0, b  0) 的两条渐近线分别交于 D, E 两点， a 2 b2 的焦距的最小值为 B．8 C．16 f ( x)  ln | 2 x  1|  ln | 2 x  1| D．32 ，则 f(x) 1 A．是偶函数，且在 ( , �) 单调递增 2 1 1 B．是奇函数，且在 ( , ) 单调递减 2 2 1 C．是偶函数，且在 (�,  ) 单调递增 2 1 D．是奇函数，且在 (�,  ) 单调递减 2 9 3 10．已知△ABC 是面积为 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为 16π ，则 O 到平面 ABC 的距离为 A． 3 3 B． 2 C．1 3 D． 2 B．ln(y-x+1)<0 C．ln∣x-y∣>0 D．ln∣x-y∣<0 11．若 2x－2y<3−x－3−y，则 A．ln(y-x+1)>0 12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 m ，使得 ai  m  ai (i  1, 2,L ) a1a2 L an L 满足 ai �{0,1}(i  1, 2,L ) 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 m 为这个序列的周期．对于周期为 m 的 0-1 序列 a1a2 L an L ， ，且存在正整数 ai  m  ai (i  1, 2,L ) C (k )  的最小正整数 1 m �ai ai k (k  1, 2,L , m  1) 是描 m i 1 1 述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 C ( k ) � ( k  1, 2,3, 4) 的序列是 5 A． 11010L B． 11011L C． 10001L D． 11001L 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka–b 与 a 垂直，则 k=__________． 14．4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则 不同的安排方法共有__________种． 15．设复数 z1 ， z2 满足 |z1 |=|z2 |=2 ， z1  z2  3  i ，则 | z1  z 2 | =__________． 16．设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线 l �平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① p1 �p4 ② p1 �p2 ③ �p2 �p3 ④ �p3 ��p4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） △ ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 △ ABC 周长的最大值． 18．（12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物 的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区， 调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公 20 顷)和这种野生动物的数量，并计算得 �xi  60 i 1 20 ， �yi  1200 i 1 20 ， �( x  x ) i 1 i 2  80 ， 20 �( yi  y )2  9000 i 1 20 ， �( x  x )( y  y )  800 ． i i 1 i （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量 的平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种 野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． n 附：相关系数 r �( x  x )( y  y ) i 1 i i n n i 1 i 1 �( xi  x )2 �( yi  y )2 ， ． 2 �1.414 19．（12 分） x2 y2  1 (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合． 已知椭圆 C1： a 2 b2 过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且 CD  4 AB ． 3 （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程． 20．（12 分） 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中 点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正 弦值． 21．（12 分） 已知函数 f ( x)  sin 2 xsin2 x ． （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； 3 3 f ( x) � （2）证明： 8 ； 3n 2 2 2 2 n sin x sin 2 x sin 4 x L sin 2 x � * （3）设 n �N ，证明： 4n ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错 涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 1 � xt , � � t � �x  4 cos 2 ， C1： � （θ 为参数），C2： （t 为参数）． �y  t  1 � 2 � �y  4sin  t （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上， 且经过极点和 P 的圆的极坐标方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|． （1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集； （2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围． 参考答案 1．A 2．D 12．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11 ． A 2 13． 2 14．36 15． 2 3 17．解：（1）由正弦定理和已知条件得 由余弦定理得 由①，②得 BC 2  AC 2  AB 2  AC � AB BC 2  AC 2  AB 2  2 AC � AB cos A cos A   因为 0π A  16．①③④