2020 年 6 月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90 分钟；满分：100 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的标准差 s 其中  1� x1  x n� x   x 2 2 x  2 锥体体积公式   2  L  xn  x � � 其中 S 为底面面积，h 为高 为样本平均数 V S  4πR 2 球的表面积公式 柱体体积公式 V  Sh ，其中 S 为底面面积，h 为高 台体体积公式 1 V  Sh 3 ，  球的体积公式  1 S�  S� S S h ， 3 V ， 4 3 πR ， 3 其中 R 为球的半径 其中 S� ，S 分别为上、下底面面积，h 为高 第Ⅰ卷（选择题 45 分） 一、选择题（本大题有 15 小题，每小题 3 分，共 45 分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知集合 A． A   3  1, 2,3 ， B   1, 2,3 B． ，则 A I B  （  1,3 ） C．  3 D． � ） 2．下图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（ A．1 B．2 3．若三个数 1，3，a 成等比数列，则实数 a  （ A．1 B．3 4．一组数据 3,4,4,4,5,6 A．3 的众数为（ C．3 D． C．5 D．9 C．5 D．6 ） ） B．4 5．如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ 1 A． 4 1 B． 2 6．函数 y  cos x 的最小正周期为（ π A． 2 7．函数 y B． π 1 x  2 的定义域为（ 10 ） 3 C． 4 D．1 3π C． 2 D． 2π ） ） A．  �, 2  B．  2, � C．  �, 2  U  2, � D．R 2 x  y  4 �0 8．不等式 A 9．已知直线 表示的平面区域是（ B C l1 : y  x  2 ， l2 : y  kx A．-2 ） D ，若 l1 //l2 ，则实数 k  （ B．-1 uuuu r uuur uuur MN  NP  PQ  （ 10．化简 11．不等式  x  2   x  3  0 的解集是（  C．0 D．1 uuuu r MQ C． D． PM ） uuur B． NQ uuur A． MP ） uuuu r ）   A． x x  2, 或 x  3 1� � 1 x x � 3 � 2 1 1� � x x   ,或 x  � 2 3 � C． � 12．化简 tan  π     （ D． � ） A． sin   0, � 上单调递减的是（ A． y  x  3 14．已知 a  4 0.5 ，b  4 ， A． a  b  c ） B． C． 2 D． tan  C．  sin  B． cos  13．下列函数中，在  B． x 2  x  3 y 2 x y  x2 c  log 4 0.5 D． ，则 a，b，c 的大小关系是（ B． c  b  a ） y  2x C． c  a  b 1, x  2, � � y  � 15．函数 的图象大致为（ log 2 x , x �2 � A B C D D． a  c  b ） 第Ⅱ卷（非选择题 55 分） （请考生在答题卡上作答） 二、填空题（本大题有 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） r r a   0, 2  ，则 2a  __________． 16．已知向量 17．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的 x 的值为-4，则输出相应的 y 的值是__________． f  x   x2  x 18．函数 的零点个数为__________． 19．在 VABC 中，若 AB  1 ， BC  2 ， B  60�，则 AC  __________． 20．函数 f  x  x  1  x  0 的最小值为__________． x 三、解答题（本大题有 5 小题，共 40 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分 6 分） 已知角  的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在  的终边上任取一点 P  x, y  ， y x y sin   cos   tan    x �0 2 2 r  x  y  0 它与原点的距离 ，定义： ．如图， r， r， x P   2, 2 为角 终边上一点．  （1）求 sin  ， cos  的值； （2）求 � π� sin �  � � 4 �的值． 22．（本小题满分 8 分） 如图，四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD  平面 ABCD，且 AD  3 ， PD  CD  2 ． （1）求四棱锥 P  ABCD 的体积； （2）若 E，F 分别是棱 PC，AB 的中点，则 EF 与平面 PAD 的位置关系是__________．在下面三个选项 中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由． ① EF �平面 PAD； ② EF // 平面 PAD； ③EF 与平面 PAD 相交． 23．（本小题满分 8 分） 如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有 9 个座位，从第二排起每一排都比前一排多 2 个座位， 共有 10 排座位． （1）求第六排的座位数； （2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同一排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位 就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ （提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排 的参会人数最多） 24．（本小题满分 8 分） 已知圆 C 的方程为  x  2    y  1  5 ． 2 2 （1）写出圆心 C 的坐标与半径长； （2）若直线 l 过点 P  0,1 ，试判断 l 与圆 C 的位置关系，并说明理由． 25．（本小题满分 10 分） 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到零件数 xi yi （单位：件）与加工时间 （单位：小时）的部分数据，整理如下表： i 1 2 3 4 5 合计 xi 10 20 x3 40 50 150 yi 62 68 75 y4 89 375 根据表中的数据： （1）求 x3 和 y4 的值； （2）画出散点图； $ $ $ （3）求回归方程 y  bx  a ；并预测，加工 100 件零件所需要的时间是多少？ 附：①符号“ � ”表示“求和”； ② 对于一组数据 $  a$  x1 , y1  ,  x2 , y2  ,L ,  xn , yn  ，其回归方程 $y  bx 的斜率和截距的最小二乘 n 估计分别为： b$ �x y i 1 n 5 i 1 2 i  nx � y 2 i  nx �x i 1 x （参考数据： � i i  5500 2 5 xy ，� i 1 i i ， ． $ a$  y  bx  11920 ） 2020 年 6 月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题参考答案 一、选择题 1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．D 13．B 14．C 15．A 二、填空题 16．  0, 4  17．-4 19． 3 18．2 20．2 三、解答题 21．解：（1）依题意： r  2 ， 2 2 所以 sin   2 ， cos   2 ． （2）由（1）知 � πππ � sin �   � sin  cos  cos  sin 4 4 � 4�  2 2 2 2 � + � =1 ． 2 2 2 2 22．解：（1）因为 PD  平面 ABCD， 1 1 V = �S矩形ABCD �PD  �2 �3 �2  4 所以 ． 3 3 （2）② 理由如下： 取 PD 的中点 C，连接 GA，CE． 因为 E，G 分别为 PC，PD 的中点， 所以 GE //DC ， GE  因为 F 为 AB 的中点， 1 DC ． 2 所以 AF  1 AB ， 2 又矩形 ABCD 中， AB //DC ，且 AB  DC ， 所以 GE //AF ，且 GE  AF ， 所以四边形 AFEG 是平行四边形． 所以 EF //GA ． 又 EF �平面 PAD， GA �平面 PAD， 所以 EF // 平面 PAD． 23．解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列 其中首项 a1  9  an  ， ，公差 d  2 ， 所以第六排的座位数 a6  a1   6  1 d  19 ． （2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多， 第一排应坐 5 人，第二排应坐 6 人，第三排应坐 7 人，……， 这样，每排就坐的人数就构成等差数列 首项 b1  5  bn  ，  1， ，公差 d �