高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教 A 版 2019 必修第二 册) 6.3.4-6.3.5　平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标 表示 【考点梳理】 考点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知 a＝(x，y)，则 λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 考点二　平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.，则 a，b 共线的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成 x1y1－x2y2＝0 或 x1x2－y1y2＝0 都是不对的，因此要理解并熟记这 一公式，可简记为：纵横交错积相减. 考点三：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ. 则 a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 或|a|＝. 若表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由 cos θ＝＝直接求出 cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值 cos θ 求 θ 的值时，应注意角 θ 的取值范围是 0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝判断 θ 的 值时，要注意 cos θ<0 时，有两种情况：一是 θ 是钝角，二是 θ 为 180°；cos θ>0 时，也有两种情况：一是 θ 是锐角，二是 θ 为 0°. 【题型归纳】 题型一：由坐标判断坐标是否共线问题 r a r c r b 1．（2021·全国·高一课时练习）若 =(6，6)， =(5，7)， =(2，4)，则下列结论成立的是（ A． r r ac r a C． 与 r b 与 共线 r r bc B． 共线 D． 2．（2021·全国·高一课时练习）已知 四边形的是（ A． D  2, 1 A  1, 0  ， r r bc ） r a 与 共线 r r ab B  3, 0  r c 与 共线 ， C  0,1 ，下列点 D 的坐标中不能使点 A、B、C、D 构成 ） B． D  4,1 C． D  4,1 D． D  1, 2  r b r r a b 3．（2021·江苏淮安·高一阶段练习）若向量 =(1，2)， =(2，3)，则与 + 共线的向量可以是（ r a A．(2，1) B．(6，10) C．(－1，2) D．(－6，10) ） 题型二：由向量平行（共线）求参数 r e1 4．（2021·全国·高一课时练习）设 ， 则（ r e2 是两个不共线的向量，若向量 ur r r m  e1  ke2  k �R  与向量 r r r n  e2  2e1 共线， ） A． k  0 B． k  1 C． k  2 � 1 D． k  2 � 5．（2021·全国·高一课时练习）设向量 a   1, 2  ， b   m,1 ，如果向量 a  2 b 与 2 a  b 平行，那么 a� b 的值为（ � � � � � � ） A．  7 2 B．  1 2 C． 3 2 D． 5 2 1 2 r r 6．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）已知 ar   m  1，，，，，  1 b   n 1 ( m  0 n  0) ，且 ar / / b，则 m  n 的最小值 是（ ） 3 2 2 A．3 B． C．4 D． 4  2 2 题型三：由坐标解决三点共线问题 7．（2021·上海·高一课时练习）已知 A．-7 A  3,1 B．-8 、 B  x, 1 、 B ， D 三点共线，则 tan   （ B．  2 A．  2 3 ） D．-10 uuu r AB   1, cos   ， uuu r BC   2, 0  ， uuur CD   2, 2sin   ，若 A， ） 1 2 9．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 的值是（ 三点共线，则 x 的值为（ C．-9 8．（2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一阶段练习）已知 A． C  2,3  C． 1 2 uur OA   k ,12  D．2 ， uuu r OB   4, 5  ， uuu r OC   k ,10  ，且 A，B，C 三点共线，则 k ） B． 4 3 C． 1 2 D． 1 3 题型四：由坐标解决线段平行和长度问题 � π� r tan �   � r r r � 4� （ 10．（2021·辽宁丹东·高一期末）已知向量 a   cos  , sin   ， b   2, 1 ，若 a //b ，则 A． 3 B．  1 3 C． 1 3 ） D．3 11．（2021·江苏·星海实验中学高一期中）已知 VABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若向量 ur m  a, 3b  A． r  与 n   cos A,sin B  平行，则 A  （ π 6 B． π 3 1 3 ( ， ) 2 2 π 2 C． 12．（2018·广东·仲元中学高一期中）已知 A． ） D． r a  ( 1, 3) 1 3 ( , ) B． 2 2 r a ，下列向量中，与 反向的单位向量是（ ） 1 3 ( ,  ) 2 2 C． 2π 3 1 3 ( , ) D． 2 2 题型五：数量积和模的向量坐标运算 r r r r r r a b  13．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 a   2, m  ， b   2, 4  ，若 a  b 则 （ 5 A． B．5 14．（2021·全国·高一课时练习）已知向量 5 A． 5 2 5 C． r a =  1, 2  13 B． 13 ， 2 65 C． 65 15．（2021·吉林·延边二中高一期中）在 VABC 中， uuur uuur AF ＝( 等分点，则 AE � 4 5 r r r r ，则向量 a  2b 与 2a  b 的夹角的余弦值为（ ） 26 D． 26 uuu r uuur uuu r uuur AB  AC  AB  AC ， AB  4, AC＝2 ， E , F 为线段 BC 的三 ) 10 A． 9 C． r b =  3,1 D． ） B． 4 40 9 56 9 D． 题型六：向量垂直的坐标表示问题 16．（2021·全国·高一课时练习）设向量 r a   ， br   x, 3 ， cr   1,  3  ．若 br  cr ，则 ar  br 与 cr 的夹角为（ 3,1 ） A．0° D．90° r r r r r r r x, y �R a  c, b / / c a  ( x,1), b  (1, y ), c  (2, 4) 17．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）已知 ，向量 ，且 ， 则x y （ B．30° C．60° B． 0 C． 4 ） A． 2 D． 4 18．（2021·安徽·合肥市第八中学高一期中）已知向量 r a  ( x,1) ， r b  ( x, 4) ，其中 x �R ，则“x=2”是“ r r ab ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 题型七：向量垂直中的参数问题 19．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知向量 A．  10 3 B．  5 3 C． 则| A． 5 （ ， r b  (1, 0) 10 3 20．（2021·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）设 r r ab  r a  (3,1) D． x, y �R ，向量 ， r r r r r c  a  kb .若 a  c ，则 k  （ ） 5 3 r r r a  ( x,1), b  (1, y ), c  (2, 4) ，且 r r ab r r b c ， ‖ ， ） B． 10 C． 2 5 D．10 21．（2021·全国·高一课时练习）“勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和 周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年，如图，在矩形 ABCD 中，△ABC 满足 “勾 3 股 4 弦 5”，且 AB=3，E 为 AD 上一点，BE⊥AC.若 uuu r BA =λ uuu r BE +μ uuur AC ，则 λ+μ 的值为（ ） 9 A．  25 B． 16 C． 25 7 25 D．1 题型八：向量坐标中的夹角计算问题 r r �1 � a  b  � ,1� r r r r �2 �，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为（ 22．（2021·全国·高一课时练习）已知 a ， b 是单位向量，且 3  A． 8 3  B． 4 C． 23．（2021·全国·高一课时练习）已知 r a   3, 1 ， 5 4 4 ） 3 D． 2 r b   1, 2  ，则下列结论中正确的个数为（ ） �5 2 5� � , � r ① 与 b 同向共线的单位向量是 � 5 � �5 � 2 r r ② a 与 b 的夹角余弦值为 5 �1 2 � r r �, � ③ 向量 a 在向量 b 上的投影向量为 �5 5 � �r 1 r �