专题常考重难点专训 15 统计易混易错练 易错点 1　对分层随机抽样的抽取比例理解有误致错 1.某中学高一、高二、高三年级的学生人数比为 6∶5∶7,防疫站欲对该 校学生进行身体健康调查,用比例分配的分层随机抽样方法从该校三 个年级的学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知样本中高三年级的学 生有 21 人,则 n 等于 (　　) A.35　　　B.45　　　 C.54　　　D.63 2.(多选)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1 200 辆,6 000 辆和 2 000 辆.为检验该公司的产品质量,公司质检部门要抽取 46 辆轿车进 行检验,则下列说法正确的是 (　　) A.应采用分层随机抽样的方法抽取 B.应采用抽签法抽取 C.若采用比例分配的分层随机抽样方法,则三种型号的轿车依次抽取 6 辆,30 辆,10 辆 D.这三种型号的轿车,每辆轿车被抽到的可能性都相等 易错点 2　对频率分布直方图特征的理解有误致错 3.某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品 净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104), [104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净 重大于或等于 98 克且小于 104 克的产品的个数是 A.90　　　B.75　　　 C.60　　　D.45 (　　) 4.(多选)某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校 3 000 名学生每周平均体育运动时间的情况,从高一、高二、高三三个 年级学生中按照 4∶3∶3 的比例进行分层随机抽样,收集了 300 名学生每 周平均体育运动时间的数据(单位:小时),整理后得到如图所示的频率 分布直方图.下列说法正确的是 (　　) A.估计该校学生每周平均体育运动时间为 5.8 小时 B.估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数为 300 C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为 10% D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于 8 小时的人数为 600 5.从全校高二年级所有参加数学联赛的学生中抽取一个样本,考察联 赛的分数分布,将样本数据分成 5 组,绘制成频率分布直方图如图,图 中从左到右各小长方形的高之比为 3∶4∶6∶5∶2,最右边一组的频数是 6, 请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题: (1)样本容量是多少? (2)列出频率分布表; (3)估计这次联赛中全体学生的平均分数和第 75 百分位数. 思想方法练 一、数形结合思想在统计中的应用 1 如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别 为 x A 和 x B ,样本标准差分别为 sA 和 sB,则 (　　) A. x A > x B ,sA>sB　　　B. x A < x B ,sA>sB C. x A > x B ,sA<sB　　　D. x A < x B ,sA<sB 2.(多选)(2021 山东日照高三下二模, )某保险公司为客户制订了 5 个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊, 重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对 5 个险种参保客户进行抽样调查,得出如图所示的统计图,以下四个选项 正确的有 (　　) A.54 周岁及以上的参保人数最少 B.18~29 周岁参保客户的总费用最少 C.丁险种更受参保客户青睐 D.30 周岁及以上的参保客户约占参保客户的 80% 二、函数与方程思想在统计中的应用 3.某校开展一次知识竞赛活动,共有三个问题,其中第 1,2 题满分都是 15 分,第 3 题满分是 20 分.每个问题或者得满分,或者得 0 分.活动结果 显示,每个参赛选手至少答对一道题,有 6 名选手只答对其中一道题, 有 12 名选手只答对其中两道题.答对第 1 题的人数与答对第 2 题的人 数之和为 26,答对第 1 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 24,答对 第 2 题的人数与答对第 3 题的人数之和为 22,则参赛选手中三道题全 答对的人数是　　　　,所有参赛选手的平均分是　　　　. 4.( )某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居 民的月用电量划分为三档,月用电量不超过 200 千瓦时的部分按 0.5 元/千瓦时收费,超过 200 千瓦时但不超过 400 千瓦时的部分按 0.8 元/ 千瓦时收费,超过 400 千瓦时的部分按 1.0 元/千瓦时收费. (1)求某户居民的用电费用 y(单位:元)关于月用电量 x(单位:千瓦时) 的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年 1 月份 100 户居民 每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这 100 户居民中今年 1 月份用电费用小于 260 元的占 80%,求 a,b 的值; (3)根据(2)中求得的数据计算用电量的 75%分位数. 参考答案 易混易错练 1.C　∵该中学高一、高二、高三年级的学生人数比为 6∶5∶7, 7 ∴高三年级学生数占总数的 18 , ∵用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级的学生中抽取一个 容量为 n 的样本,且高三年级被抽到的人数为 21, 7 ∴n=21÷ 18 =54.故选 C. 易错警示 解决有关分层随机抽样的问题时,防止比例用错导致解题错误. 2.ACD　由于总体中的个体差异明显,所以应采用分层随机抽样的方 法抽取,故 A 正确;因为总体中的个体数较大,所以不宜采用抽签法抽 取,故 B 不正确;设三种型号的轿车依次抽取 x 辆,y 辆,z 辆,则 { { x y z x=6 , = = , 1 200 6 000 2 000 解得 y=30 , z=10 , x + y + z=46 , 所以三种型号的轿车依次抽取 6 辆,30 辆,10 辆,故 C 正确;由在分层随机抽样中,每个个体被抽到的可 能性相等,可知 D 正确.故选 ACD. 3.A　产品净重小于 100 克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本 36 中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本量为 n,则 n =0.300,所 以 n=120,所以样本中净重大于或等于 98 克且小于 104 克的产品的个 数是 120×(0.100+0.150+0.125)×2=90. 4.ABD　对于 A,估计该校学生每周平均体育运动时间为 1×0.05+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15+11×0.05=5.8(小时),故选项 A 正 4 确;对于 B,高一年级的总人数为 3 000× 4+3+ 3 =1 200,由题中频率分 布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时间不足 4 小时的频率为 (0.025+0.1)×2=0.25,所以估计高一年级学生每周平均体育运动时间不 足 4 小时的人数为 1 200×0.25=300,故选项 B 正确;对于 C,该校学生每 周平均体育运动时间不少于 8 小时的百分比为 (0.075+0.025)×2×100%=20%,故选项 C 错误;对于 D,该校学生每周平 均体育运动时间不少于 8 小时的人数为 3 000×20%=600,故选项 D 正 确.故选 ABD. 易错警示 利用频率分布直方图解决相关问题时,要注意两点:一是频率分布直方 图中小矩形的面积是频率;二是频率分布直方图中原始数据损失,往往 用每组区间的中点值代替. 2 5.解析　(1)样本容量为 6÷ 3+ 4+ 6+5+2 =60. (2)由(1)知样本容量为 60,所以从左到右的频数分别为 9,12,18,15,6, 则频率分别为 0.15,0.2,0.3,0.25,0.1,故频率分布表为: 分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 9 12 18 15 6 频率 0.15 0.2 0.3 0.25 0.1 (3)平均分数为 55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.5. 因为 0.15+0.2+0.3=0.65,0.15+0.2+0.3+0.25=0.9,0.75∈(0.65,0.9),所以 第 75 百分位数位于[80,90)内,故第 75 百分位数是 80+ 0. 75 - 0 . 65 0 .25 ×10=84. 思想方法练 1.B　由题图知,A 组的 6 个数分别为 2.5,10,5,7.5,2.5,10;B 组的 6 个 数分别为 15,10,12.5,10,12.5,10. 由折线图读出原始数据,进而利用相关公式解决问题. 2 .5+10+5+ 7 .5+2 . 5+10 25 = 所以 x A= 6 4 , x B= 15+10+12 .5+ 10+12. 5+10 35 = 6 3 , 显然 x A < x B . 由题图可知,B 组数据的分布比 A 组的均匀,故 B 组数据比较稳定,方 差较小,从而标准差较小,所以 sA>sB.故选 B. 2.ACD　由题中扇形图可判断 54 周岁及以上的参保客户所占的比例 最少,故参保人数最少,故 A 选项正确; 由题中折线图可估计 18~29 周岁的参保客户人均参保费用最少,但这 类人所占比例为 20%,总费用不一定最少,故 B 选项错误; 由题中条形图可知丁险种的参保比例更高,故更受参保客户青睐,故 C 选项正确; 由题中扇形图可知 30 周岁及以上的参保客户所占比例为 120%=80%,故 D 选项正确.故选 ACD. 由条形图得到各险种的比例,由扇形图得到各年龄段人数所占比例,由 折线图可估计各年龄段的参保费用.利用所读取数据解决相关问题. 思想方法 数形结合思想在统计问题中的应用:一方面用图形直观表示相关统计 量,另一方面借助图形直观比较相关统计量的关系,要熟练运用条形图、 扇形图、折线图、频率分布直方图的特点解决相关统计问题. 3.答案　2;29.5 分 解析　设 x1,x2,x3 分别表示答对第 1 题、第 2 题、第 3 题的人数, 则 { { x1 + x 2=26 , x 1=14 , x 1 + x 3=24 , 解得 x 2=12 , x 2+ x 3=22 , x 3=10 . 设出相关人数,依据题设条件列方程(组)求解,从而解决问题. 设答对三题的人数为 x,则 6×1+12×2+3x=36,解得 x=2, ∴三道题全答对的