5.6.2 函数 y＝Asin（ωx＋φ）的性质-【新教材】人教 A 版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析） 一．单选题 1. 已知函数 f (x)=sin (ωx + π )( x ∈ R , ω>0) 的最小正周期为 π ，将 4 y=f ( x) 的图象向右移 φ( φ>0) 个单位长度，所得图象关于原点对称，则 φ 的一个值是 () A. 2. π 2 B. 3π 8 ( π3 ) 为得到函数 y=cos x + C. 3. 4. D. 向右平移 ( π3 ] ， x∈ 0, ¿ 足条件的 ω 的个数是 ¿ π 8 π B. 向右平移 6 个单位长度 5π 6 个单位长度 已知 A. 3 D. 的图象，只需将函数 y=sinx 的图象 () π A. 向左平移 6 个单位长度 C. 向左平移 π 4 5π 6 个单位长度 时 f (x)= 1 2 有唯一解，则满 ¿ B. 4 C. 5 D. 6 ¿ 已知函数 ¿ 如图所示，则 f ( x ) 的解析式是 ¿¿ 的图象 ¿ 部分 ¿ π A. f ( x )=2 sin x + 6 ( x ∈ R ) π B. f ( x )=2 sin 2 x + 6 ( x ∈ R ) π C. f ( x )=2 sin x + 3 ( x ∈ R ) π D. f ( x )=2 sin 2 x + 3 ( x ∈ R ) ( ) ( ( ) 5. ) ( 将函数 f (x)=2 sin(ωx +φ)(ω >0,∨φ∨¿ ) π 1 ) 的图象向右平移 2 6 个单位长度 后得到函数 y=g(x ) 的图象．如图是 y=g(x ) 的部分图象，其中 A，B 是其 与 x 轴的两个交点，C 是其上的点， ¿ OA∨¿ 1 ，且 △ ABC 是等腰直角三 角形．则 ω 与 φ 的值分别是 () π 5π A. ω= 2 , φ= 12 π 5π ω= , φ= 4 24 6. π 7π B. ω= 2 , φ= 12 C. π 7π D. ω= 4 , φ= 24 ❑ 将函数 y=sin 2 x+ √ 3 cos 2 x 的图象沿 x 轴向左平移 φ( φ>0) 个单位后，得 到关于 y 轴对称的图象，则 φ 的最小值为 () A. 7. π 12 B. 设函数 f ( x )=2 sin 立，则 A. 4 |x 1−x 2| π 6 ( π2 x + π5 ) C. D. 5π 12 ，若对任意 x ∈ R 都有 f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) 成 ¿ 的最小值为 ¿ B. 2 π 4 ¿ C. 1 D. 1 2 ¿ 1 8. 将函数 f ( x )=sin ( x +φ ) 图象上所有点的横坐标变为原来的 ( ω >1 ) ¿ 纵坐 ω 标不变 ¿ ，得函数 g ( x ) 的图象 . 若 g 数 g ( x) 在 A. 2 9. ( π6 , π2 ) 左平移 ， g ( 23π )=0 ，且函 上具有单调性，则 ω 的值为 ( ) B. 3 将函数 f ( x)=sin ( x+ ( π6 )=1 C. 5 D. 7 π ) 6 图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍．再将图象向 π y=g(x ) 的图象，则函数 y=g( x ) 图象 3 个单位长度，得到函数 的一个对称中心为 () π A. ( 12 , 0) π B. ( 4 , 0) 4π D. ( 3 , 0) C. (π ,0) ❑ 10. 若将函数 f ( x )=sin ( 2 x+ φ ) + √ 3 cos ( 2 x +φ )( 0< φ< π ) 的图像向左平移 单位长度，平移后的图像关于点 [ −π π , 2 6 −1 A. 2 ] ( π2 , 0) π 4 个 对称，则函数 g ( x ) =cos ( x +φ ) 在 上的最小值是 () −❑√ 3 B. 2 ❑ C. √2 D. 2 1 2 二．多选题 2 ¿ 11. 已知函数 f ( x)=sin 2 x−2 sin x ，则下列结论正确的是 ¿ ¿ A. 函数 f ( x) 的最小正周期是 π π 5π B. 函数 f (x) 在区间 [ 8 , 8 ] 上是减函数 −π C. 函数 f (x) 图像关于 ( 8 ,−1) 对称 π ❑ D. 函数 f ( x) 的图像可由函数 y= √ 2sin 2 x 的图像向右平移 8 个单位， 再向下平移 1 个单位得到 π 3 12. 已知函数 f (x)=asin2 x+ bcos 2 x (a>0, b>0) ，且 f ( )=0 ，则下列说法 ¿ ¿ 正确的是 ¿ A. f ( x) 的最小正周期为 π π B. f ( 12 )=2 a π C. 将 f ( x) 图像向左平移 3 个单位得到一个偶函数 π 7π D. f ( x) 在 ( 12 , 12 ) 上单调 三．填空题 13. 函数 y=sin (πx + φ)(φ>0) 的部分图象如图所示，设 P 是图象的最高点，A，B 是图象与 x 轴的交点，记 ∠ APB=θ ，则 sin 2θ=¿ ________． [ 14. 若 f (x)=2 sinωx+1(ω>0) 在区间 范围是 −π 2 π , 2 3 ] 上是增函数，则 ω 的取值 ． ❑ 15. 已知函数 f (x)= √ 3 sin(2 x−φ)−cos(2 x−φ)(|φ|< 则 f (x) 在区间 [ −π 5 π , ] 6 12 上的最大值为____________． 2 ( ❑ 16. 若函数 f ( x)=2 sin x−2 √ 3 sin x sin x− (0, 23π ) π ) 2 的图象关于 y 轴对称， π 2 ) 满足： ¿ f (x)−m∨¿ 2 在区间 上恒成立，则实数 m 的取值范围是____________． 17. 函数 f (x)=sin (x+ π π ) sin(x− )−sin x cos x 的最小正周期是 6 6 π [0, ] 上的最大值为 2 ，在 ． 四．解答题 ❑ 2 18. 已知函数 f (x)=2 √ 3 sin x cos x+ 2cos x−1( x ∈ R) ． π (I ) 求函数 f (x) 的最小正周期及在区间 [0, ] 上的最大值和最小值； 2 6 π π (II) 若 f ( x 0)= , x 0 ∈[ , ] ，求 cos 2 x 0 的值． 5 4 2 π 19. 已知函数 f (x)= Asin (ωx +φ) ， ( A>0, ω> 0,∨φ∨¿ 2 ) 的部分图象如图所 示． ¿ ¿ Ⅰ ¿ 求函数 f ( x) 的解析式及 f (x) 图象的对称轴方程； ¿ ¿ ¿ Ⅱ ¿ 把函数 y=f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍 ¿ 纵坐标不 变 ¿ ，再向左平移 π y=g(x ) 的图象，求关于 x 的方 6 个单位，得到函数 程 g( x)=m(0<m<2) 在 x ∈[ −π 11 π , ] 时所有的实数根之和． 3 3 20. 已知点 A ( x 1 , f ( x 1)) ， B ( x 2 , f (x 2)) 是函数 π f (x)=2 sin(ωx +φ)(ω >0,− < φ<0) 图象上的任意两点，角 φ 的终边经 2 ❑ 过点 P(1,− √ 3) ，且当 ¿ f (x1 )−f ( x 2)∨¿ 4 时， ¿ x 1−x2 ∨¿ 的最小值为 π 3 ． (1) 求函数 f (x) 的解析式 ; (2) 求函数 f ( x) 的单调递增区间 ; π (3) 当 x ∈[0, ] 时，不等式 mf ( x)+2 m≥ f (x) 恒成立，求实数 m 的取 6 值范围． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：函数 f (x)=sin (ωx + π )( x ∈ R , ω>0) 的最小正周期为 π ， 4 所以 ω=2 ， 将 y=f ( x) 的图象向右移 φ( φ>0) 个单位长度，得到： π g( x)=sin(2 x−2 φ+ ) ， 4 由于所得到的图象关于原点对称， 所以 −2 φ+ π −kπ π =kπ (k ∈ Z) ，解得 φ= + (k∈ Z ) ， 4 2 8 k ∈Z 结合 φ> 0 ，得 φ=−kπ + π ¿ ，且 k ≤ 0 ¿ ， 2 8 当 k =0 时， φ= π 8 ． 故选：D． 首先利用函数的周期求出函数的解析式，进一步利用函数的图象的平移变换和对称性 的应用求出结果． 本题主要考查函数 y= Asin( ωx +φ) 的图象与性质，函数的图象的平移变换的应用， 属于基础题型． 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了函数 y= Asin(ωx +φ) 的图象与性质、函数图象的变换的相关知识，属 于基础题． 根据函数 y= Asin(ωx +φ) 的图象变换的规则可得结论． 【解答】 解： 故选 C． 3.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查 的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题． 对 ω 进行分类讨论即可求解． 【解答】 解：由题意，得当 ω> 0 时， ，即 2≤ ω <6 ，所以 ω=2,3,4,5 ; 当 ω< 0 时， ，即 −6 <ω ≤−4 ，所以 ω=−5,−4, 故满足条件的 ω 的个数是 6， 故选 D． 4.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了 的函数图象和性质，属于基础题． 由函数图象得到最值和周期，从而得 数解析式． 【解答】 ，结合图象上点坐标，得到函 解： ∵ 由图象可知： ， ， ∴ω=1 ， ∵ 点 ， 在图象上， ， ∵∨φ∨¿ ， π 2 ， ， ． 故选 C． 5.【答案】D 【解析】解：将函数 f ( x)=2 sin(ωx +φ)(ω >0,∨φ∨¿ π 1 ) 的图象向右平移 2 6 个 单位长度后得到函数 y=g(x ) 的图象， 1 6 即 g( x)=2 sin[ω( x− )+ φ] ， 由 △ ABC 是等腰直角三角形，可得 C 为图象上的最高点，所以 AB=4 ， 又 A (−1,0) ，所以 B (3,0) ， 即 T 2π π =4 ，所以 T =8