赣县第三中学高二数学强化训练十一 一、单选题 2 2 2 2 1．圆 x  y  4 与圆 ( x  3)  ( y  4)  9 的公切线的条数为（ A．1 B．2 ） C．3 D．4 2．设 m, n 是两条不同的直线，  ,  是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 m // ， n // ，则 m //n ， B．若  // ， m � ， n � ，则 m //n C．若 m   ， m  n ，则 n // D．若 m   ， m //n ， n//  ，则    A��� B C 是水平放置的一个平面图形的直观 3．如图，平行四边形 O� � � � � O C  30�，则下列叙述正确的 图，其中 O A  4 ， O C  2 ， �A��� 是（ ） A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形 D．原图形的面积是 8 3 4．正四棱锥 S  ABCD 的侧棱长与底面边长相等， E 为 SC 的中点， C．原图形的面积是 8 2 则 BE 与 SA 所成角的余弦值为（ A． 1 3 B． 1 2 C． 3 3 D． ） 2 2 5．如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘 制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网 人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为 (　　) A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3 2 2 6．直线 y  kx  2 与圆 x  y  2 x  0 只在第二象限有公共点，则实数 k 的取值范围为（ ） 3 � � A． � ,1� 4 � � 3 � 3 � � � B． � ,1� C． � , �� D．  �,1 4 � 4 � � � 7．已知△ABC 的项点坐标为 A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则 角 B 的内角平分线所在直线方程为（　 　） A．x﹣y+2＝0 B．x  2 y+2＝0 C．x  3 y+2＝0 D．x ﹣2y+2＝0 8．如图，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形， 4 做成一个蛋巢，将体积为 的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不 3 变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( ) 3 1 A． B． 2 2 C． 3 2 D． 2 2 9．执行如图所示的算法，则输出的结果是 A．1 B． 4 3 C． 5 4 D．2 二、填空题 10．空间中点 A  3, 3,1 关于 x 轴的对称点 A�,点 B  1,1,5 ,则 A�, B 连线的长度为___________. 11．已知正四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 的底面边长 AB  6 ，侧棱长 AA1  2 7 ，它的外接球的球心为 O ，点 E 是 AB 的中点，点 P 是球 O 上 的任意一点，有以下命题： ① PE 的长的最大值为 9; 32 ② 三棱锥 的体积的最大值是 ; P  EBC 3 ③ 存在过点 E 的平面，截球 O 的截面面积为 9 ; ④ 三棱锥 P  AEC1 的体积的最大值为 20； 其中是真命题的序号是___________ 三、解答题 12．已知锐角 VABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 b cos C  c cos B  2a cos A . （1）求角 A 的大小； （2）若 b  2 ，求 VABC 面积的取值范围． 13．已知两直线 l1 : 3 x  y  1  0 ， l2 : x  2 y  5  0 （1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）若直线 l3 : x  ay  4a  3  0 与 l1 ， l2 不能构成三角形，求实数 a 的值. 2 2 2 14．已知圆 O ： x  y  a ( a  0) ，点 A  0, 4  ， B  2, 2  . （1）若线段 AB 的中垂线与圆 O 相切，求实数 a 的值； （2）过直线 AB 上的点 P 引圆 O 的两条切线，切点为 M 、N ，若 �MPN  60�，则称点 P 为“好点”. 若直线 AB 上有且只有两个“好点”，求实数 a 的取值范围. 15．如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点. （Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF∥平面 PAE？说明理由. 答案 1．C2．D3．C4．C5．C.6．B7．D8．B 折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为 1 的正方形，其外接圆半径 r = 2 ，球半径 2 R=1， 2 2 2 由球面的截面小圆性质知，球心到截面距离 d 有 d  R  r  1  ( 2 2 2 )  ， 2 2 蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是 1 的小等腰三角形的高 所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 2 ， 2 2 2 + = .9．A 2 2 2 10． 2 17 11．①③④ 36  36  28 36  28  5 ， EO   4， 2 2 故 PE 的最大值为 EO  R  9 ，①正确； 外接球半径为： R  AA 1 SVEBC  �3 �6  9 ，高 hmax  1  R  7  5 ，故 2 2 1 Vmax  �9 � 7  5  3 7  15 ，②错误； 3   当截面与 EO 垂直时， r  R 2  EO 2  3 ，故 S  9 ，故③正确； 1 SVAEC1  �3 � 36  28  12 ， h  R  5 ，故 V  20 ，故④正确； max max 2 �3 � 12．（1） A   ；（2） � �2 , 2 3 � �． � � 3 （1）因为 b cos C  c cos B  2a cos A ， 由正弦定理可得 sin B cos C  sin C cos B  2sin A cos A ，可得 sin A  2sin A cos A ，   1 在锐角 中， 0  A  ， ，可得 cos A  ，故 A  ； VABC 2 sin A �0 2 3 （2）由正弦定理 2sin C 1 3 a b c c   得c  ， S△ ABC  bc sin A  sin A sin B sin C sin B 2 2 3 sin C ， sin B 因为 A  S△ ABC  2 2 B， ，则 B  C  ，C  3 3 3 �2 � 3 sin �  B � 3 cos B  3 sin B 3 1 3， 3 � � 2 2   �  sin B sin B 2 tan B 2  � 0 B � � 2 因为 为锐角三角形，则 � ，解得 ，则 �3 �， �  � tan B �� , �� � B B �� , � � � �3 2 �3 � �6 2 � VABC �3 � 所以 SVABC �� , 2 3 �. �2 � 1 13．（1） y  2 x ， x  y  3  0 ；（2） , 2,1 . 3 3x  y 1  0 � �x  1 （1）联立直线方程 �x  2 y  5  0 解得 �y  2 ，交点坐标 ， (1, 2) � � 当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为 0，直线方程 y  2 x ， 当直线不过原点时，设其方程为 x  y  b  0 ，过 (1, 2) 得 1  2  b  0, b  3 ， 所以直线方程 x  y  3  0 综上：满足题意的直线方程为 y  2 x ， x  y  3  0 （2）直线 l3 : x  ay  4a  3  0 与 l1 ， l2 不能构成三角形 1 当 l 与 l 平行时： 3a  1, a  1 3 3 当 l2 与 l3 平行时： a  2, a  2 当三条直线交于一点，即 l3 过点 (1, 2) ，则1  2a  4a  3  0, a  1 1 综上所述实数 的值为 , 2,1 a 3 14．（1） a  2 ；（2）   2, � . 解：（1）由 A  0, 4  ， B  2, 2  得： AB 的中点坐标为  1,3  ，直线 AB 的斜率为 1 ， 所以 AB 的中垂线方程为 y  3  1� x  1 ，即 x  y  2  0 ， 又因为 AB 的中垂线与圆 O 相切， 2 a， 所以圆心 到 中垂线的距离 2 O AB 即a  2 ； （2）连接 PO , OM ， 在 Rt POM 中， �OPM  30�， OM  a ， 所以 PO  2OM  2a ， 所以点 P 的轨迹是以 O 为圆心， 2a 为半径的圆，记为圆 O� ， 2 2 2 则圆 O� 的方程为 x  y  4a ， 又因为直线 AB 的方程为 x  y  4  0 ，且直线 AB 上有且只有 两个“好点”， 则直线 AB 与圆 O� 相交， 4  2a ， 所以圆心 到直线 的距离 2 O AB 故实数 a 的取值范围是   2, � . 15．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，理由见解析. （Ⅰ）证明：因为 PA  平面 ABCD ，所以 PA  BD ； 因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC  BD ;因为 PA I AC  A ， PA, AC �平面 PAC ， 所以 BD  平面 PAC . （Ⅱ）存在，当点 F 为 PB 中点时，满足 CF // 平面 PAE ；理由如下: 分别取 PB, PA 的中点 F , G ，连接 CF , FG, EG ， 1 在三角形 中， 且 FG  AB ； FG / / AB 2 PAB 1 在菱形 ABCD 中， E 为 CD 中点，所以 CE / / AB 且 CE  2 AB ， 所以 CE / / FG 且 CE  FG ，即四边形 CEGF 为平行四边形，所以 CF // EG ; 又 C