高考大题标准练(二) 1．已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列满足：a1 ＝b1 ＝3，b2 ＝a4 ，且 a1，a4，a13 成等比数列． (1)求数列{an}和的通项公式； (2)令 cn＝，求数列的前 n 项和 Sn. 2．如图，已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点 O，PA，NC 都垂直于平面 ABCD，且 PA＝AB＝4，NC＝2，M 是线段 PA 上一动 点． (1)当 MO⊥平面 EFN 时，求 AM∶MP 的值； (2)当 M 是 PA 中点时，求四面体 MEFN 的体积． 3．2020 年 1 月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意 见》印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点 (也称“强基计 划”).强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全 等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家 重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战 略性新兴产业，如图是我国 2011－2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势 图．其中柱状图表示新材料产业市场规模(单位：万亿元)，折线图表示新材料 产业市场规模年增长率(%). (1)求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； (2)从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年 的年增加值不少于 6 000 亿元的概率； (3)由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大． (结论不要求证明) 4．已知抛物线 x2＝2py，直线 2x－y＋6＝0 截抛物线 C 所得弦长为 8. (1)求抛物线的方程； (2)在直线 l：y＝－2 上任取点 Q 作抛物线切线，切点分别为 M，N，求证：直 线 MN 过定点． 5．已知 f(x)＝xeax. (1)试求 f(x)在[0，2]上的最大值； (2)已知 f(x)在 x＝1 处的切线与 x 轴平行，若存在 x1，x2∈R，x1<x2，使得 f(x1)＝ x2 f(x2)，证明：x1 e >e. 6．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：(α 为参数)，在以 O 为极点，x 轴正半 轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρcos ＝－，曲线 C3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标； (2)设点 A，B 分别为曲线 C2，C3 上的动点，求|AB|的最小值． 7．若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， (1)证明：ab＋bc＋ac≤； (2)求(a＋1)2＋4b2＋9c2 的最小值． 参考答案 1．已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列满足：a1 ＝b1 ＝3，b2 ＝a4 ，且 a1，a4，a13 成等比数列． (1)求数列{an}和的通项公式； (2)令 cn＝，求数列的前 n 项和 Sn. 【解析】(1)设{an}的公差为 d，则由已知得 a1a13＝a，即 3＝ ，解得 d＝2 或 d＝0(舍)，所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1； 2 因为 b2＝a4＝9，所以的公比 q＝3，所以 bn＝3n. (2)由(1)可知 cn＝，所以 Sn＝＋＋＋…＋， 3Sn＝3＋＋＋…＋， 所以 2Sn＝3＋2－＝3＋－＝4－，所以 Sn＝2－. 2．如图，已知 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，EF 与 AC 交于点 O，PA，NC 都垂直于平面 ABCD，且 PA＝AB＝4，NC＝2，M 是线段 PA 上一动 点． (1)当 MO⊥平面 EFN 时，求 AM∶MP 的值； (2)当 M 是 PA 中点时，求四面体 MEFN 的体积． 【解析】(1)因为 MO⊥平面 EFN，ON⊂平面 EFN，所以 MO⊥ON， 又因为 PA，NC 都垂直于平面 ABCD，所以△MAO∽△OCN， 又 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，且 PA＝AB＝4，NC＝2， 所以＝⇒＝⇒AM＝3，所以 AM∶MP＝3. (2)因为 E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，所以 EF⊥AC， 又因为 PA，NC 都垂直于平面 ABCD，EF⊂平面 ABCD，所以 EF⊥CN， 因为 AC∩NC＝C，AC，NC⊂平面 ACN，所以 EF⊥平面 ACN，所以四面体 MEFN 的体积 V＝·EF·S△MON，EF＝2，S△MON＝2×4－3－＝4，所以 V＝. 3．2020 年 1 月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意 见》印发，自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点 (也称“强基计 划”).强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全 等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家 重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战 略性新兴产业，如图是我国 2011－2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势 图．其中柱状图表示新材料产业市场规模(单位：万亿元)，折线图表示新材料 产业市场规模年增长率(%). (1)求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； (2)从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年 的年增加值不少于 6 000 亿元的概率； (3)由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大． (结论不要求证明) 【解析】(1)2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数 ＝＝3.26 万亿元； (2)设 A 表示事件“从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规 模较上一年的增加值不少于 6 000 亿元”，从 2012 年起，每年新材料产业市场规 模的增加值依次为 3 000，2 000，3 000，5 000，6 000，4 000，8 000，6 000(单 位：亿元)，所以 P(A)＝. (3)由题图知，从 2012 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最 大． 4．已知抛物线 x2＝2py，直线 2x－y＋6＝0 截抛物线 C 所得弦长为 8. (1)求抛物线的方程； (2)在直线 l：y＝－2 上任取点 Q 作抛物线切线，切点分别为 M，N，求证：直 线 MN 过定点． 【解析】(1)设交点分别为 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，联立消 y 得，x2 －4px－12p＝ 0，Δ＝16p2＋48p>0， ⇒＝＝8，解得，p＝1. 所以 C：x2＝2y. (2)过点(0，2)，理由如下： 设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，直线 MN：y＝kx＋t，联立 C：x2＝2y 得到，x2－2kx－ 2t＝0，得到 x3x4＝－2t，x3＋x4＝2k，C：x2＝2y 即为 y＝f(x)＝，则 f′(x)＝x， 在 M(x3，y3)处切线为 y＝f′(x3)(x－x3)＋f(x3)＝x3x－x， 令 y＝－2，得到 x＝－. 在 N(x4，y4)处切线为 y＝f′(x4)(x－x4)＋f(x4)＝x4x－x，令 y＝－2 得到 x＝－. 依题得到－＝－，化简得到 x3x4＝－4， 所以－2t＝－4，所以 t＝2. 所以直线 MN：y＝kx＋2 恒过(0，2). 5．已知 f(x)＝xeax. (1)试求 f(x)在[0，2]上的最大值； (2)已知 f(x)在 x＝1 处的切线与 x 轴平行，若存在 x1，x2∈R，x1<x2，使得 f(x1)＝ x2 f(x2)，证明：x1 e >e. 【解析】(1)f′(x)＝(xeax)′＝(1＋ax)eax， 当 a≥0 时，则 1＋ax≥0 对任意 x∈[0，2]恒成立，即 f′(x)≥0 恒成立． 所以 f(x)在 x∈[0，2]上单调递增，则 f(x)的最大值为 f(x)max＝f(2)＝2e2a； 当 a<0 时，令 1＋ax＝0，即 x＝－， 当－∈(0，2)，即 a<－时， 当 x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增． 当 x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，f(x)max＝f＝－. 当－∈[2，＋∞)，即－≤a<0 时，1＋ax≥0 对任意 x∈[0，2]恒成立， 即 f′(x)≥0 恒成立，所以 f(x)在 x∈[0，2]上单调递增． 则 f(x)的最大值为 f(x)max＝f(2)＝2e2a； 综上所述：当 a≥－时，f(x)max＝f(2)＝2e2a； 当 a<－时 f(x)max＝f＝－. (2)因为 f(x)在 x＝1 处的切线与 x 轴平行， 所以 f′(1)＝(1＋a)ea＝0，则 a＝－1， 即 f′(x)＝(1－x)e－x. 当 x<1 时，f′(x)>0，则 f(x)在(－∞，1)上单调递增， 当 x>1 时，f′(x)<0，则 f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 又因为 x<0 时有 f(x)<0；x>0 时有 f(x)>0，f(0)＝0， 所以，若 f(x1)＝f(x2)，则有 0<x1<1<x2； x2 要证 x1 e >e，只需证 x2>1－ln x1； 又因为 0<x1<1，所以 1－ln x1>1； 因为 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，从而只需证明 f(x1)＝f(x2)<f(1－ln x1)， －x1 只需证 x1 e 1－x1 只需证 e <(1－ln x1) e lnx1－1 ＝e lnx1 ＝(1－ln x1)， ＋ln x1<1，(0<x1<1) 设 h(t)＝e1－t＋ln t，，则 h′(t)＝. 由 f(x)的单调性可知，f(t)≤f(1)＝. 则 te－t≤，即 1－te1－t≥0.所以 h′(t)>0，即 h(t)在 t∈(0，1)上单调递增． 所以 h(t)<h(1)＝1. x2 从而不等式 x1 e >e 得证． 6．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：(α 为参数)，在以 O 为极点，x 轴正半 轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρcos ＝－，曲线 C3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标； (2)设点 A，B 分别为曲线 C2，C3 上的动点，求|AB|的最小值． 【解析】(1)曲线 C1：消去参数 α，得 y＋x2＝1，x∈[－1，1].① 曲线 C2：ρcos ＝－⇒x＋y＋1＝0，② 联立①②，消去 y 得，x2 －x－2＝0，解得 x＝－1 或 x＝2(舍去)，所以 M(－ 1，0