2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （1） 宫春雨制作（原创） office2016 以上版本播放佳 一、新课引入 问题1：园艺师打算在绿地上用栏杆围成一个矩形区域种植花卉， x 若栏杆长度是24，围成的矩形区域面积要大于20 m m2 , 则这个矩形的边长是多少米？ 12-x 分析：设这个矩形的一条边长为m x,则另一边为（12 -x)m, 由题意得：（12 x -x )  20化简整理：12 , x 2 - x20  0( 0 x -12x  20  0 2 x 2 -12x  20  0 只要求得不等式的解集，就能得到问题的答案。 �x � 2)1 一、新课引入 问题 2 ：已知函数 y=x2-x-6 ，当 x 为何值时， y=0 ？ 当 x 为何值时， y<0 ？ 当 x 为何值时， y>0 ? 分析：（1）由可以得到本题的答案。 x 2 -x-6=0 x -x -6  0 22 （2）由可以得到本题的答案。 x -x-6  0 x -x -6  0 2x 2 -x-6  0 （3）由可以得到本题的答案。 二、一元二次不等式 1. 定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 . 2.形式：0或0 ax 2 +bx  c  ax 2 +bx  c  (为常数， a , b, c a �0) ax +bx  c  0， 2 ax +bx  c  0(为常数， a, b, c 2 a �0) 三、一元二次不等式与二次函数之间的关 系 回头看：问题 2 ：已知函数 y=x2-x- y 6， 当 x 为何值时， y=0 ？ -2 O 3 x 当 x 为何值时， y<0 ？ 当 x 为何值时， y>0 ? 画出函数图像（如图） y  x2  x  6 函数图像与轴交于两点，这两交点的横坐标就是方程的两个实根 y  x2  x  6 x x 2  x  6=0 因此二次函数=的图像与轴的交点为（2, y x2  x  6 x 0）和（3, - 0）。 x1  -2, x2  3, 三、一元二次不等式与二次函数之间的关 系 2. 函数的零点的定义 对于二次函数y=使的实数 ax 2  bx  c, ax 2  bx  c =0 叫做二次函数y=的零点。 ax 2  bx  c 二次函数的两个零点是： y  x2  x  6 x1  2, x2  3. 注意：（1）函数的零点，指的是一个，！！ 数值 不是点 ！！ （2）零点指的是函数中自变量的！！！！ 取值 （3）零点指的是使函数值等于0的自变量的！！！！ 取值 y x -2 O 3 x 三、一元二次不等式与二次函数之间的关 系 由图可知：二次函数的两个零点 y  x2  x  6 x1  2, x2  3 将轴分成三段，当或时，函数图像位于轴上方， x x  2 x  0 x 此时也就是: y  0, x 2  x  6  0; 当时，函数图像位于轴下方，此时也就是: 2 x 3 x y  0, x 2  x  6  0;  不等式的解集为：或 x2  x  6  0 不等式的解集为： x2  x  6  0 y {x | x  2 x  3}, {x | 2  x  3}. -2 O 3 x 三、一元二次不等式与二次函数之间的关 系 回看 头 x 问题1：园艺师打算在绿地上用栏杆围成一个矩形区域种植花卉， 若栏杆长度 是24，围成的矩形区域面积要大于20 m m2 , 则这个矩形的边长是多少米？ 12-x 同样的办法：可以得到不等式12 x 2 - x20  0的解集为：  {x | 2  x  10}, 又，时，围成的矩形区域的面积大于 Q 0  x  12  2  x  10 20m 2 . 四、一元二次不等式的解法 总结：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax 2  bx  c  0(a  0) 和的解集。 ax 2  bx  c  0(a  0) 解法： ( 1)解方程，求函数y=的零点； ax 2  bx  c =0(a  0) ax 2  bx  c(a  0) ( 2)根据函数y=的图像与轴的相关位置确定一元二次 ax 2  bx  c (a  0) x 不等式的解集。 x1 , x2 四、一元二次不等式的解法 例题解析：例1.求不等式的解集 x -5 x  6  0 2 . 解析：由x 2 -5 x  6=0 � x1  2, x2  3. 画出函数的图像， y  x -5 x  6 2 易得：或时， x2 x3  不等式的解集是：或。 x 2 -5 x  6  0 y O 1 2 3 x 2 -5 x  6  0; {x|x  2 x  3} x 四、一元二次不等式的解法 例2.求不等式的解集 -x +2 x  3  0 2 解析： ( 1)先把不等式化为： -x 2 +2 x  3  0 ( 2)解方程，得：，； x 2 -2 x-3=0 y . x1 =-1 x 2 -2 x-3  0 x2 =3 ( 3)画函数y=的图像； x 2 -2 x-3 ( 4)求得解集是： x 2 -2 x-3  0  不等式-的解集是：。 x2  2x  3  0 {x|-1  x  3}. {x|-1  x  3} -1 O 1 2 3x 四、一元二次不等式的解法 例3.求不等式（））的解集 x-2 (3-x <0 解析：: 先把不等式（））化为： x-2 (3-x <0 y . x 2  5 x  6  0, 同例1：由x -5 x  6=0 � x1  2, x2  3. 2 画出函数的图像， y  x 2 -5 x  6 易得：或时， x2 x3  不等式的解集是：或。 x 2 -5 x  6  0 x 2 -5 x  6  0; {x|x  2 x  3} O 1 2 3 x 四、一元二次不等式的解法 例4.求不等式9的解集 x -6 x  1  0 2 y . 1 解析：由9x -6 x  1=0 � x1 =x2  . 3 画出函数的图像， y  9 x 2 -6 x  1 1 易得：时，9 x� x 2 -6 x  1  0; 3 2  不等式9的解集是：。 x -6 x  1  0 2 O 1 {x|x � } 3 1 3 1 x 四、一元二次不等式的解法 3 例5.求不等式的解集 -x +2 x � 2 3 2 解析：:先把不等式化为：2 -x +2 x � 2 2 y . x 2  4 x  3 �0, 画出函数的图像，可以看到： y  2 x 2 -x  3 无论为何值时，2都不成立 x x 2 -4x  3 �0  不等式无解。 x 2 -5 x  6  0 ; O 1 3 x 四、一元二次不等式的解法 例6.求不等式的解集 x -3x +4  0 2 y . 解析：画出函数的图像，可以看到： y  x 2 -3x  4 无论为何值时，恒成立 x x -3x  4  0 2  不等式的解集为。 x 2 -3 x  4  0 ; O x �R 1 x 2 三个二次之间的关系 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0) 的图 象 ax2+bx+c=0 (a>0) 的根 △>0 △=0 y y x1 O △<0 y x2 x O x1 x 有两相等实根 有两相异实根 b x =x =  1 2 x1, x2 (x1<x2) 2a ax2+bx+c>0 (a>0) 的解 集 b {x|x<x1, 或 x>x2} {x|x≠  } 2 ax +bx+c<0 2a (a>0) 的解 {x|x1< x <x2 } 集 Φ O 没有实根 R Φ x 总结提升 解一元二次不等式的一般步骤是： (1) 一看：看二次项系数是否为正数； (2) 二算：算 Δ (3) 三对照：对照表格求解集。 五、练 【练 1 】　解下列不等式：(1)2x2 3<0 ； ＋ 5x － 五、练 2 【练 2 】－ 3x ＋ 6x≤2 ； 解　原不等式等价于 3x2 － 6x ＋ 2≥0.Δ ＝ 36 － 4×3×2 ＝ 12>0 ， 五、练 2 【练 3 】(4x － 4x ＋ 1>0 ； ③