202 1 第二章 1.2.2 全称量词与存在量词 第 1 课时 全称量词与 存在量词 主讲人：小杨老师 学习目标 1. 理解全称量词与存在量词的定义 . 2. 掌握并判断全称量词命题与存在量词命题 . 3. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 ; 能正确使用全称量 词对存在量词命题进行否定 . 学习重难点 1. 理解全称量词与存在量词的定义 . 2. 掌握并判断全称量词命题与存在量词命题 . 3. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 ; 能正确使用全称量 词对存在量词命题进行否定 . 问题 探究 题型 拓展 达标 训练 问题探究 知识点 1 全称量词命题 实例分析 观察下列命题： (1) 所有正方形都是矩形； (2) 每一个有理数都能写成分数的形式； (3) 对于任意的正实数 k ， y=kx+b 的值随 x 的增大而增大； (4) 空集是任何集合的子集； (5) 一切三角形的内角和等于 180 度 分析 以上命题中，“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围 内表示整体或全部的含义 . 抽象概括 在给定集合中 , 断言所有元素 　　　　　都具有同一性质的命题叫作全称 量词命题 .  在命题中 , 诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这 样的词叫作全称量词 . 用符号“　　”表示 , 读作“对任意的” .  ∀ 划重点 1. 全称量词命题表示的数量可能是无限的 , 也可能是有限的 , 由题目而定 . 2. 一个全称量词命题可以包含多个变量 , 如“∀ x,y∈R,x2+y2≥0”. 3. 有时全称量词是省略的 , 理解时需要把它补充出来 . 如 :“ 正方形是矩 形”应理解为“所有的正方形是矩形” . 知识点 2 存在量词命题 实例分析 有一些数学命题，是对个体或整体的一部分的判断 . 例如： (1) 有些三角形是直角三角形； (2) 在素数中，有一个是偶数； (3) 存在实数 x ，使得 x2+x-1=0. 分析 以上命题中，“有些”“有一个”“存在”都表示个别或一部分的 含义 . 抽象概括 在给定集合中 , 断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量 词命题 . 在命题中 , 诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在 量词 . 用符号“∃”表示 , 读作“存在” . 划重点 1. 含有存在量词的命题 , 不管包含的程度多大 , 都是存在量词命题 . 2. 一个存在量词命题可以包含多个变量 , 如“∃ a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”. 3. 有些命题中虽然没有写出存在量词 , 但其意义具备“在”“有一个”等特征 的命题都是存在量词命题 . 题型拓展 题型 1 全称量词命题及其真假的判断 例 1 判断下列命题是否是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量 词并判断命题的真假： (1) 所有的正方形都是平行四边形； (2) 能被五整除的整数末位数字为 0. 分析 求解本题需注意以下两点： (1) 弄清楚命题的量词； (2) 准确判断命题的真假． 答案： (1)“ 所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是 全称量词，此命题为真命题； (2)“ 能被 5 整除的整数末尾数字为 0” 可以表述为“所有能被 5 整除的 整数末位数字都为 0” ，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所 有”，此命题为假命题 . 变式训练 1 判断下列命题是否是全称量词命题，如果是，指出其中 的全称量词 .  ① 正方形的四条边相等 ; ② 有两个角是 45° 的三角形是等腰直角三角形 ; ③ 正数的平方根不等于 0; ④ 至少有一个正整数是偶数 . 答案 :①②③ 是全称量词命题；包含的全称量词都是“所有” 题型 2 存在量词命题及其真假的判断 例 2 判断下列命题是否是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词 ，并判断命题的真假： (1) 存在一个无理数 x ，使 x2 也是无理数； (2) 存在实数 x ，使 x2+x+1=0. 分析 求解本题需注意以下两点： (1) 弄清楚命题的量词； (2) 准确判断命题是否是存在量词命题． 答案： (1)“ 存在一个无理数 x ，使 x2 也是无理数”是存在量词命题， “存在”是存在量词，此命题为真命题； (2)“ 存在实数 x ，使 x2+x+1=0” 是存在量词命题，“存在”是存在量 词，此命题为假命题 . 变式训练 2 指出下列命题中 , 哪些是全称量词命题 , 哪些是存在量词命 题 , 并判断真假 . (1) 存在实数 x, 使得 x3<1; (2) 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 ; (3) 存在一个实数 x, 使得等式 x2+x+8=0 成立 ; (4) 对任意的实数 x,y ，若 x<y ，则 tanx<tany. 解 :(2)(4) 是全称量词命题 ,(1)(3) 是存在量词命题 . 分析 (1)“ 存在”是存在量词，真命题； (2)“ 每一条”是全称量词，假命题； (3)“ 存在”是存在量词，假命题； (4)“ 任意”是全称量词，假命题 . 方法总结 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1) 存在量词命题的真假判断 ① 要判定存在量词命题“∃ x∈M,p(x)” 是真命题 , 只需在集合 M 中找到一个元素 x, 使 p(x) 成立即可 . ② 要判定一个存在量词命题是假命题 , 需对集合 M 中的任意 一个元素 x, 证明 p(x) 都不成立 . (2) 全称量词命题的真假判断 ① 要判定全称量词命题“∀ x∈M,r(x)” 是真命题 , 需要对集 合 M 中每个元素 x, 证明 r(x) 成立 ; ② 要判定全称量词命题“∀ x∈M,r(x)” 是假命题 , 只需举出 一个反例 , 即在集合 M 中找到一个元素 x0, 使得 r(x0) 不成 立 , 那么这个全称量词命题就是假命题 . 达标训练 1. 下列命题不是“∃ x∈R,x2>5” 的表述方法的是 ( 　　 ) A. 有一个 x∈R, 使得 x2>5 成立 B. 对有些 x∈R, 使得 x2>5 成立 C. 任选一个 x∈R, 使得 x2>5 成立 D. 至少有一个 x∈R, 使得 x2>5 成立 解析：选 C. 原命题是存在量词命题 , 而选项 C 中的命题是全称量词命题 . 2. 下列各命题中 , 真命题是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　 　　　　　 A.∀x∈R,3-x2<0 B.∀x∈N,x3≥1 C.∃x∈Z,x2<1 D.∃x∈Q,x2=2 解析 选 C.A 是假命题 , 例如当 x=0 时 ,3-x2=3>0; B 是假命题 , 例如当 x=0 时 ,x3=0<1; C 是真命题 , 例如当 x=0 时 ,x2=0<1; D 是假命题 ,x2=2 解得 x=± ∉Q. 2