小题压轴题专练 20—向量（1） 一、单选题 1．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自 行车的平面结构示意图，已知图中的圆 ABE ， BEC ， ECD 该自行车的过程中， （前轮），圆 D P A(8, 0) ， （后轮）的半径均为 B(6, 2 3) 圆 D 的方程为 所以 ， x2  y2  3 uuur AC  (6, 2 3) ， 故选： C ． ， 3 ， ABE ， D．48 BEC C (2, 2 3) ，可设 ． P( 3 cos  , 3 sin  ) ， uuu r BP  ( 3 cos   6, 3 sin   2 3) ． uuur uuu r 1 3 AC � BP  6sin   6 3 cos   24  12( sin   cos  )  24 故 2 2  12sin(  3 为后轮上的一点，则在骑动 C．36 三角形．点 P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系： 则 （后轮）的半径均为 ( ) 的最大值为 　　 B．24 解：据题意：圆 D 均是边长为 4 的等边三角形．设点 uuur uuu r AC � BP A．18 A  )  24�12  24  36 ． 3 ， ECD 均是边长为 4 的等边 r b r a r c r b r e 2．已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量，若向量 满足 r r r b 2  4e � b 30 ，则 r a ，  r r r e  (a �0) ，则 r r 的最小值是 　　 |a b | ( ) 4 A． 3 1 B． 2 1 C． 3 1 D． 2 1 r 解：因为 e 是单位向量， 由 即 以 设 r r r b 2  4e � b 30 r r (b  2 e ) 2  1 O uuur r ON  2e 得 ，所以 为原点，将 r r r r b 2  4b � e  4e 2  1 r r | b  2e | 1 r r r e , a, b ，结合 ． 的起点都设为 r r | b  2e | 1 ， r e x ， 的方向作为 轴的正方向，如图建立坐标系： O r b ， 的终点 P 落在以 N (2,0) 为圆心，半径为 1 的圆上．   r r 因为  a , e  ，结合对称性，不妨设 ar 的终点 Q 落在射线 OQ 上，其中 �QON  ． 4 4 结合直线与圆的位置关系可知，过 （如图所示），此时 结合 �QON  因为 PN  1 故选： B ． PQ N 做 NQ  射线 OQ ，垂足为 Q ，且 NQ 与圆交于点 的长度最小．  ，故 QON 为等腰直角三角形，由 ON  2 ，可知 NQ  2 ， 4 ，所以 PQ 的最小值为 2 1 ． P 3．已知  uuur uuur �A  ，若 uuur 的外接圆圆心为 ， AO  x AB  y AC ( x, y �R) ，则 x  y 的最 ABC O 6 ( ) 大值为 　　 A． 4  2 3 3 C． 2 B． 4  2 3 uuur uuur uuur AD  m AB  nAC (m  0, n  0) AO BC D 解：如图，延长 交 于 ，设 ， 又 uuur uuur uuur AO  x AB  y AC ( x, y �R) ， m n | AD | | AD | | AD |   mx n y | AO | ， | AO | ， 易得 x y | AO | ，即有 则 mn x | AD | | AD | y | AO | | AO | ， 由 B ， C ， D 三点共线，可得 m  n  1 ， 即有 由于 过 O x y | AO | | AO | 1   | AD | | AO |  | OD | 1  | OD | ， | OA | | AO | r 作 是定值，只需 OM  BC ，垂足为 | OD | M 最小， ，则 OD�OM ， 即有 �BOM  �BAC ， Q �A  3   cos A  3  | OM | | OM | r 2 | OB | ，则 6， 2 ． 6 D． 4 1 x  y� 42 3 3 则 ．即有 的最大值为 ． 1 x y 42 3 2 故选： B ． 4．已知点 P 是 ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur r PA � ( PA  PB )  PC � ( PA  PB ) PA  PB  PC  0 甲： ；乙： ； 丙： uuu r uuu r uuur | PA || PB || PC | uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r PA � PB  PB � PC  PC � PA ；丁： ． ( ) 如果只有一个等式不成立，则该等式为 　　 A．甲 解：对于甲： uuu r uuuu r PA  2 PM B．乙 uuu r uuu r uuur r PA  PB  PC  0 C．丙 ，设 M 是 BC 的中点，则 D．丁 uuu r uuur uuuu r PB  PC  2PM ，所以 ， 故 P 点是 PM 的靠近 M 的三等分点，即该三角形的重心； uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r PA � ( PA  PB)  PC � ( PA  PB) BA � ( PA  PC )  0 BA � CA 0， 对于乙： ，移项整理得 ，即 故 AB  AC ，所以 ABC 是直角三角形； 对于丙： 对于丁： 则 uuu r uuu r uuur | PA || PB || PC | ，则 P 为 ABC 的外心； uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r PA � PB  PB � PC  PC � PA ． uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r PA � PB  PB � PC  PB � ( PA  PC )  PB � CA  0 ，所以 PB  CA ， 同理可得 PA  BC ， PC  AB ， 所以 P 为 ABC 的垂心， 如果只有一个等式不成立，则该等式为乙． 故选： B ． 5．已知直角三角形 ABC 中， �A  90�， AB  2 ， AC  4 ，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则 16  16 5 A． 5 uuu r uuur PB � PC ( ) 的最大值为 　　 16  8 5 B． 5 16 C． 5 56 D． 5 解：根据题意，直角三角形 ABC 中， �A  90�，设 AD 为斜边 BC 上的高， 又由 AB  2 ， AC  4 ，则 AD  2 �4 4 5  5 ， 4  16 uuu r 4 5 r | PA | 连接 PA ，则圆 A 的半径 5 ， uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r 2 uuu r uuur uuur 16 uuu r uuu r uuur PC  ( PA  AB ) � ( PA  AC )  PA  PA � ( AB  AC )   PA � ( AB  AC ) ， 则 PB � 5 uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r ( AB  AC ) PA � ( AB  AC ) 当 PA 与 同向时， 取得最大值， uuu r 4 5 uuur uuur | PA | 此时 5 ， | AB  AC | 4  16  2 5 ， 4 5 uuu r uuur uuur �2 5  8 ( AB  AC ) 的最大值为 5 则 PA � ， uu r uuur 的最大值为 故u PB � PC 16 56 8 ， 5 5 故选： D ． 6．已知 ABC ， uuuu r uuu r AM  3 AB uuur uuur uuur AP  x AB  y AC ( x, y �R ) A．12 uuur uuur AE  t AB 因为点 所以 P ，则 ，点 ( x  1)2  ( y  1)2 B．9 解：如图，过点 所以 ， uuur uuur AN  3 AC ， 3] 是四边形 BCNM ， uuur uuur AF  t AC ( ) 的最大值与最小值之差为 　　 C． 25 2 D． BCNM 内部，且 uuuu r uuu r AM  3 AB ， uuur uuur AN  3 AC ， ， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AP   AE  (1   ) AF  t  AB  t (1   ) AC  x AB  y AC �x  t  � 所以 �y  t (1   ) ，且 x ， y �[0 ， t ] ， 所以 x y t 17 2 ， 因为 E ， P ， F 三点共线，所以 所以 内（含边界）的一点，若 AE t ， 作 EF / / BC 交 ， AN 于点 ， ，设 AB P AM E F 在四边形 t �[1 P ， t �[1 ， 3] ， ( x  1)2  ( y  1) 2  ( x  1) 2  (t  1  x) 2  2 x 2  2tx  (t  1) 2  1 ， t t2  2( x  ) 2 