2020-2021 学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．集合 A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，集合 B＝{x||2x﹣1|＜2}，则 A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．∅ 2．命题“对∀x∈R，都有 sinx≤1”的否定为（　　） A．对∀x∈R，都有 sinx＞1 B．对∀x∈R，都有 sinx≤﹣1 C．∃x0∈R，使得 sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得 sinx≤1 3．若角 θ 的终边经过点 P（ A． ），则 tanθ＝（　　） B． C．﹣1 D． 4．函数 f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x 的最小正周期是（　　） A． B． C．π D．2π 5．已知 a＝sin160°，b＝cos50°，c＝tan110°，则 a，b，c 的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a D．a＜c＜b ，若 f（a）＝ ，则 f（﹣a）＝（　　） 6．已知函数 A． C．c＜a＜b B． C． D． 7．基本再生数 R0 与世代间隔 T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的 平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在 α 型病毒疫情初始阶段，可以用 指数模型 I（t）＝ert 描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（（单位：天）的变化规律，指 数增长率 r 与 R0、T 近似满足 R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出 R0＝3.22，T＝10． 据此，在 α 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 I（0）的 3 倍需要的时间约为 （　　）（参考数据：ln3≈1.10） A．2 天 B．3 天 8．已知函数 实数 m 取值范围为（　　） C．4 天 D．5 天 ，若方程 f（x）﹣m＝0 有 4 个不相同的解，则 A．（0，1] B．[0，1） C．（0，1） D．[0，1] 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 a＞b，则 B．若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2 C． D．lgx＜0 是 x＜1 的充分不必要条件 10．下列函数既是奇函数又是增函数的是（　　） A． B．f（x）＝tanx C．f（x）＝3x﹣3﹣x D．f（x）＝x•cosx 11．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则 下列正确的是（　　） A． B．f（2021π）＝1 C．函数 y＝|f（x）|为偶函数 D． 12．已知定义在 R 上的函数 f（x）同时满足下列三个条件： ① f（x）是奇函数； ② ∀x∈R， 时，f（x）＝2x﹣1；则下列结论正确的 ；③当 是（　　） A．f（x）的最小正周期 T＝π B．f（x）在[﹣ ， ]上单调递增 对称 C．f（x）的图象关于直线 D．当 x＝ （k∈Z）时，f（x）＝0 三、填空题；本小题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知弧长为 π 的弧所对圆心角为 60°，则这条弧所在圆的半径为　 　． 14．已知 α 为第二象限角，cos（α﹣ ）﹣2sin（π+α）＝ ，则 cosα＝　 　． ＝　 　． 15．计算： 16．某种物资实行阶梯价格制度，具体见表： 阶梯 年用量（千克） 价格（元/千克） 第一阶梯 不超过 10 的部分 6 第二阶梯 超过 10 而不超过 20 的部分 8 第三阶梯 超过 20 的部分 10 则一户居民使用物资的年花费 y 元关于年用量 x 千克的函数关系式为　 　；若某居民 使用该物资的年花费为 100 元，则该户居民的年用量为　 　千克． 四、解答题，本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．从“①∀x∈R，f（2+x）＝f（2﹣x）；②方程 f（x）＝0 有两个实数根 x1，x2，x1+x2 ＝ 4；③∀x∈R，f（x）≤f（2）”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答． 已知函数 f（x）为二次函数，f（﹣1）＝﹣8，f（0）＝﹣3，_______． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若不等式 f（x）﹣kx≤0 对一切实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围． 18．2006 年某市某地段商业用地价格为每亩 60 万元，由于土地价格持续上涨，到 2018 年 已 经 上 涨 到 每 亩 120 万 元 ， 现 给 出 两 种 地 价 增 长 方 式 ， 其 中 P1 ： f （ t ） ＝ at+b（a，b∈R）是按直线上升的地价，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按对数 增长的地价，t 是 2006 年以来经过的年数．2006 年对应的 t 值为 0． （1）求 f（t），g（t）的解析式； （2）2018 年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求 2022 年 的地价相对于 2018 年上涨幅度控制在 10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定 出最合适的一种模型．（参考数据：log210≈3.32） 19．已知函数 f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜ ），函数 为奇函数． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将函数 y＝f（x）的图象向右平移 个单位，然后将所得图象上的各点的横坐标 缩小到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数 g（x）的图象，证明：当 x 时， 2g2（x）﹣g（x）﹣1≤0． 20．已知函数 f（x）＝ln（2﹣2x）+ln（2﹣2﹣x）． （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）若 f（x）≤m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 21．如图，一个半径为 4 米的筒车按逆时针方向每 π 分钟转 1 圈，筒车的轴心 O 距水面的 高度为 2 米．设筒车上的某个盛水筒 W 到水面的距离为 d（单位：米）（在水面下 d 则 为负数）．若以盛水筒 W 刚浮出水面时开始计算时间，则 d 与时间 t（单位：分钟）之 间的关系为 d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）． （1）求 A，ω，φ，K 的值； （2）求盛水筒 W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ （3）某时刻 t0（单位：分钟）时，盛水筒 W 在过点 O 的竖直直线的左侧，到水面的距 离为 5 米，再经过 分钟后，盛水筒 W 是否在水中？ 22．若函数 f（x）和 g（x）的图象均连续不断，f（x）和 g（x）均在任意的区间上不恒为 0，f（x）的定义域为 I1 ，g（x）的定义域为 I2 ，存在非空区间 A⊆（I1∩I2 ），满足： ∀x∈A，均有 f（x）g（x）≤0，则称区间 A 为 f（x）和 g（x）的“Ω 区间”． （1）写出 f（x）＝sinx 和 g（x）＝cosx 在[0，π]上的一个“Ω 区间”（无需证明）； （2）若 f（x）＝x3，[﹣1，1]是 f（x）和 g（x）的“Ω 区间”，证明：g（x）不是偶函数； （3）若 ，且 f（x）在区间（0，1]上单调递增，（0，+∞）是 f（x）和 g（x）的“Ω 区间”，证明：g（x）在区间（0，+∞）上存在零点． 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．集合 A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，集合 B＝{x||2x﹣1|＜2}，则 A∩B＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．∅ 解：因为集合 A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，集合 B＝{x||2x﹣1|＜2}＝{x| }， 所以 A∩B＝{0，1}． 故选：B． 2．命题“对∀x∈R，都有 sinx≤1”的否定为（　　） A．对∀x∈R，都有 sinx＞1 B．对∀x∈R，都有 sinx≤﹣1 C．∃x0∈R，使得 sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得 sinx≤1 解：∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“对∀x∈R，都有 sinx≤1”的否定为：∃x0∈R，使得 sinx0＞1； 故选：C． 3．若角 θ 的终边经过点 P（ A． B． 解：角 θ 的终边经过点 P（ ），则 tanθ＝（　　） C．﹣1 ），则 tanθ＝ D． ＝﹣1， 故选：C． 4．函数 f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x 的最小正周期是（　　） A． B． 解：f（x）＝sin4x﹣cos4x+2sinxcosx C．π D．2π ＝（sin2x﹣cos2x）（sin2x+cos2x）+2sinxcosx ＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x ＝ sin（2x﹣ ）， 则最小正周期 T＝ ， 故选：C． 5．已知 a＝sin160°，b＝cos50°，c＝tan110°，则 a，b，c 的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解：因为 a＝sin160°＝cos70°＜cos50°＝b， 即 0＜a＜b＜1， 又因为 c＝tan110°＝﹣tan70°＜0， 即 c＜a＜b， 故选：C． ，若 f（a）＝ ，则 f（﹣a）＝（　　） 6．已知函数 A． B． 解：∵函数 ∴f（a）＝1﹣lg ∴lg C． D． ，f（a）＝ ， ＝ ， ＝ ， ∴f（﹣a）＝1﹣lg ＝1+lg ＝1+ ＝ ． 故选：D． 7．基本再生数 R0 与世代间隔 T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的 平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在 α 型病毒疫情初始阶段，可以用 指数模型 I（t）＝ert 描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（（单位：天）的变化规律，指 数增长率 r 与 R0、T 近似满足 R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出 R0＝3.22，T＝10． 据此，在 α 型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至 I（0）的 3 倍需要的时间约为 （　　）（参考数据：ln3≈1.10） A．2 天 B．3 天 C．4 天 D．5 天 解：由 R0＝1+rT，R0＝3.22，T＝10 可得 10r+1＝3.22， 所以