考点 02 命题及其关系、充分条件与必要条件 【命题解读】 1．了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系. 2．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、 充要条件. 【命题预测】 常用逻辑用语是高考必考知识点，常以选择题的形式出现，多与不等式、函数等知识相交汇，预计 2021 年高考仍以选题的形式呈现. 【复习建议】 一、命题及其关系 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题 ， 判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 (2)四种命题间的关系 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 �p ，则 �q 逆否命题 若 �q ，则 �p (3)常见的否定词语 正面词 语 否定词 = >(<) � �( �) 是 都是 不 不都 是 是 任意(所有) 任两 的 个 某两 某个 个 至多有 1(n)个 至少有 1 个 至少有 2(n+1)个 1 个也没有 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； / p，则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)若 p⇒q 且 q � / q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； (3)若 p � (4) 若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； / q 且 q� / p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (5) 若 p � 2．必记结论 (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p 是 q 的充分不必要条件 � �q 是 �p 的充分不必要条件； ②p 是 q 的必要不充分条件 � �q 是 �p 的必要不充分条件； ③p 是 q 的充要条件 � �q 是 �p 的充要条件； ④p 是 q 的既不充分也不必要条件 � �q 是 �p 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则 ①若 ②若 ③若 ④若 A �B B �A A� �B B� �A ，则 p 是 q 的充分条件； ，则 p 是 q 的必要条件； ，则 p 是 q 的充分不必要条件； ，则 p 是 q 的必要不充分条件； ⑤ 若 A  B ，则 p 是 q 的充要条件； � � ⑥ 若 A �B 且 B �A ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 考向一 四种命题的关系及其真假的判断 四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往 会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法 ① 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条 件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ② 原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法 ① 给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例 即可． ② 由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 典例 1 已知命题：“若 a＜b，则 ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数 是 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】原命题：“若 ab ，则 ac 2  bc 2 ”，当 c0 时不成立，所以为假命题；则它的逆否命题也为假 命题； 其逆命题为“若 ac 2  bc 2 ，则 ab ”，为真；所以其否命题也为真命题； 故命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是 2. 故选 C. 典例 2 下列命题中为真命题的是 A．命题“若 x  1 ，则 x  1 ”的逆命题 2 B．命题“若 x  1 ，则 x  x  2  0 ”的否命题 2 C．命题“若 x  0 ，则 x  1 ”的逆否命题 2 D．命题“若 x  y ，则 x  y ”的逆命题 【答案】D  2  1 ，所以为假命 【解析】命题“若 x  1 ，则 x 2  1 ”的逆命题为“若 x 2  1 ，则 x  1 ”，由于  2   1， 2 题； 2 2 命 题 “ 若 x  1 ， 则 x  x  2  0 ” 的 否 命 题 为 “ 若 x �1 ， 则 x  x  2 �0 ” ， 由 于 2 �1,  2    2   2  0 ，所以为假命题； 2  2  1 ，所以为假命题； 命题“若 x 2  0 ，则 x  1 ”的逆否命题与原命题同真假，因为  2   0， 2 命题“若 x  y ，则 x  y ”的逆命题为“若 x  y ，则 x  y ”，因为 x  y �y ，所以为真命题.选 D． 考向二 充分、必要条件的判断 充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常 与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法 设“若 p，则 q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则 p 是 q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则 p 是 q 的充要条件； (4)当原命题与逆命题都为假时，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论） 典例 1 设 x �R ，则“ 2  x �0 ”是“ | x  1|�1 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 2  x �0 ，可得 x �2 ， 由 | x  1|�1 因为 ，可得 1 �x  1 �1 x 2  x x  x 0 ��� 所以“ 2  x �0 ”是“ | x  1|�1 2 ，即 0 �x �2 ， ， ”的必要而不充分条件. 故选 B． 【名师点睛】判断充要关系的的方法： ① 根据定义，若 p�q ，那么 p p � q, q � / p q ，那么 是 的充要条件，若 p q q 是 的充分而不必要条件，同时 是 p� / q ,q � / p ，那那么 p q p 的必要而不充分条件，若 是 的既不充分也不必要条件； ② 当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若 p : x �A ， q : x �B ，若 A 是 B 的真子集，那么 p 是 q 的充分而不必要条件，同时 q 是 p 的必要而不充分条件，若 A  B ，那么 p 是 q 的充要条件，若没 有包含关系，那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件； ③ 命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“ p 是 q ”的关系转化为“ �q 是 �p ”的关系进行判 断． 典例 2 设 x ∈ R ，则使 lg(x+1)<1 成立的必要不充分条件是 A． −1< x <9 B． x>−1 C． x> 1 D． 1< x< 9 【答案】B 【解析】求解对数不等式 lg ( x +1 ) <1 可 得 0< x +1<10,∴−1< x <9 ， 结 合 选 项 可 得 ， 使 lg(x+1)<1 成立的必要不充分条件是 x>−1 .故选 B. 考向三 充分、必要条件的应用 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下： 1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式（组）求解. 2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的 取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 2 典例 1 已知 p : 4 x  m  0 ， q : x  x  2  0 ，若 p 是 �q 的一个必要不充分条件，则 m 的取值范围为 A．  8, � B．  8, � C．  4, � D．  4, � 【答案】B 【解析】 p : 4 x  m  0 ，即 p: x  m 4， Q q : x2  x  2  0 Qp 是 �q  �q : x 2  x  2 �0 ，  的一个必要不充分条件， ，即 1 �x �2 ， 可得 �q � p ，即 �q 的范围比 p 的范围小， m 2 故4 ，即 m � 8, � . 故选 B 项. 【名师点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题.解答本题时，根据 p 是 �q 的一个必 要不充分条件，可得 �p � q ，然后得到 m 的取值范围. 题组一 基础过关 1．（2020·浙江高三其他）已知三个不同的平面 ”是“ m // n ”的（  ,  , 和直线 m, n ，若 I  m ，  I  n ，则“  / / ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 2．（2020·浙江杭州高三三模）“ D．既不充分也不必要条件 a3 ”是“函数 f ( x) | x  1|  | x  a | ( x �R) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 1 1 x� x  �2 3．（2020·安徽省太和中学高三其他（文））“ ”的（ ） 2 ”是“ x A．充分不必要条件 B．必要不