巧解非线性回归问题 如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方 程建立两个变量 之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数 函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然 后利用变量置换，把非线性回归方程问 题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想. [来源:Zxxk.Com] 一、案例分析 例　一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了 7 组数据如下表： 温度 x/℃ 某项指标 y 2 5.790 3 6.810 4 8.199 5 10.001 6 12.190 7 14.790 8 17.801 试建立某项指标 y 关于温度 x 的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果. 分析　根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型. 解　画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函 数曲线 y＝Bx2 ＋A 的周围. 令 X＝x2，则变换后的样本点应该分布在 y＝bX＋a(b ＝B，a＝A)的周围. 由已知数据可得变换后的样本数据表： X 某项指标 y 4 5.790 9 6.810 16 8.199 25 10.001 36 12.190 49 14.790 64 17.801 计算得到线性回归方程为 ^y ＝0.199 94X＋4.999 03. 用 x2 替换 X，得某项指标 y 关于温度 x 的回归方程 ^y ＝0. 199 94x2＋4.999 03. 计算得 R2≈0.999 9 97，几乎为 1，说明回归模型的拟合效果非常好. 点评　本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图象相对 照，选择一种跟这些样本点拟合最好 的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分 析问题，使之得 以解决. [来源:学科网 ZXXK] 二、 知识拓展 常见的非线性函数转换方法： (1)幂型函数 y＝axm(a 为正数，x，y 取正值) [来源:学科网] 解决方案：对 y＝axm 两边取常用对数，有 lg y＝lg a＋mlg x，令 u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为 u＝mv＋ lg a，其中 m，lg a 为常数，该式表示 u，v 的线性函数. (2)指数型函数 y＝c·ax(a，c>0，且 a≠1) [来源:Z+xx+k.Com] 解决方案：对 y＝cax 两边取常用对数，则有 lg y＝lg c＋xlg a，令 u＝lg y，则原式可变为 u＝xlg a＋lg c ， 其中 lg a 和 lg c 为常数，该式表示 u，x 的线性函数.与幂函数不同的是 x 保持不变，用 y 的对数 lg y 代替了 y. k (3)反比例函数 y＝ x (k>0) 1 解决方案：令 u＝ x ，则 y＝k u ，该式表示 y，u 的线性函数. (4)二次函数 y＝ax2＋c 解决方案：令 u＝x2，则原函数可变为 y＝au＋c，该式表示 y，u 的 线性函数. (5)对数型函数 y＝clogax 解决方案：令 x＝au，则原函数可变为 y＝c u，该式表示 y，u 的线性函数. [来源:Zxxk.Com]