2.1.1 椭圆及其标准方程（2） 重点练 一、单选题 1．若椭圆 5 x  ky  5 的一个焦点是 2 2 5 A． 21  0, 2 ，则实数 k  （ B．1 ） C．15 D．25 x2 y2  1 2．已知椭圆 10  m m  2 的焦点在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于（ ） A．4 3．“ B．5 C．7 D．8  log a 2  x 2   logb 2  y 2  1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ A． 0ab B． 1 a  b C． 2ab D． ） 1 b  a x2 y2    1(a  b  0) 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 a 2 b 2 ，过左焦点 F (2, 0) 倾斜角为 3 的直线 交椭圆上半部分于点 为（ A ，以 FA ， FO 为邻边作平行四边形 OFAB ，若点 B ） x2  y2  1 A． 5 x2 y2  1 B． 4  3 3 x2 y 2  1 C． 6 2 x2 y2  1 D． 4  2 3 2 3 二、填空题 在椭圆上，则椭圆的标准方程 5．已知椭圆 C 的两个焦点为 BF1  3 AF1 ， AB  BF2 F1  1,0  ， 且 | PF | 4 ，过 F1 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，若 ，则 C 的方程为________. 6．如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O ， | OP || OF | F2  1, 0  ，则椭圆 C F (2 5, 0) 为椭圆 C 的左焦点， P 为椭圆 C 上一点，满足 的标准方程为__________. 三、解答题 7．设点 P, Q 的坐标分别为 ( 2 2, 0) ， (2 2, 0) ，直线 PM , QM 相交于点 M，且它们的斜率分别是 k1 , k2 , k1k2   1 2． （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）与圆 x2  y 2  2 | AB |  | AD |  | BD | ． 相切于点 (1,1) 的直线 l 交 C 于点 A, B ，点 D 的坐标是 (2, 0) ，求 参考答案 1．【答案】B x2  【解析】由 5 x 2  ky 2  5 得 y2 1 5 5 ，又椭圆的一个焦点为 0 , 2 ，故  1  2 2 ，解得   k 1 k k 故选 B 2．【答案】D x2 y2  1 【解析】∵ 椭圆 10  m m  2 的焦点在 y 轴上， ∴ a2  m  2 ， b 2  10  m ， ∵ 焦距为 4， ∴ 2c  4 即 在椭圆中： c2  4 ， a 2  b2  c 2 即 m  2  (10  m)  4 ，解得： m8 ， 故选 D 3．【答案】C log a 2>0 � �a >1 � � log b 2>0 b>1 ， 【解析】若 表示焦点在 轴上的椭圆，则需 � ，即 � � �a  b log a 2> log b 2  log a 2  x 2   log b 2  y 2  1 y � � 所以 1 a  b 所以“ ，  log a 2  x 2   log b 2  y 2  1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是 2  a  b ， 故选 C. 4．【答案】D 【解析】由题可知：A，B 关于 y 轴对称， 如图 c2 ，点 A 横坐标为 1 由直线 AF 的方程 y  3  x  2  ，所以 A 纵坐标为 3 1 3  2 1 2 又点 A 在椭圆上，所以 a ① b 由 c2  4  a2  b2 把②代入①，解得 ，则 a2  4  b2 ② a 2  4  2 3, b 2  2 3 x2 y2  1 故椭圆方程为： 4  2 3 2 3 故选 D x2  y2  1 5．【答案】 2 【解析】如图所示： 设 AF1  x ，∴ BF1  3 x, BF2  2a  3 x, AF2  2a  x ． 因为 AB  BF2 ，所以  4 x    2a  3 x    2a  x  ，  3 x    2a  3 x    2c   4 ， 2 2 2 2 2 2 x2  y2  1 2 2 2 2 而 c  1 ，解得 a  2 ，又 b  a  c  1 ，所以 C 的方程为 2 ． x2  y2  1 故填 2 ． x2 y2  1 6．【答案】 36 16 x2 y2   1(a  b  0) 【解析】由题意设椭圆的标准方程为 a 2 b 2 ， 因为 F (2 5, 0) 为椭圆 C 的左焦点，所以 c  2 5 ， 因为 | OP || OF | ，所以 | OP || OF | 2 5 ， 设点 P 的坐标为 P (m, n) ，则 1 1 OF �n  �4 � (2 5)2  22 ， 2 2 2 �8 � 6 8 2 解得 n  ，则 m  (2 5)  � �  ， 5 �5� 5 � 6 8 �  , � 所以点 的坐标为 � � 5 5 �， P 因为 P 为椭圆 C 上一点， 36 64  1 所以 5a 2 5b 2 2 2 2 a  36, b  16 因为 a  b  c  20 ，所以解得 ， 2 x2 y2  1 所以椭圆的标准方程为 36 16 ， x2 y 2  1 故填 36 16 2 x2 y 2   1( x ��2 2) 7．【答案】（1） 8 ；（2） | AB |  | AD  | BD∣  8 2 . 4 【解析】（1）设点 M 的坐标为 由题意得 k1k2   x, y  , x ��2 2 ， y y 1 �  2 ，化简得 x 2  2 y 2  8 ， x2 2 x2 2   x2 y 2   1 x ��2 2 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 8 ； 4 （2）由题意圆 过切点 (1,1) x2  y 2  2 和圆心 (0, 0) 的圆心为 (0, 0) ， 的直线的斜率为 1 ，  切线 l 的斜率为 1， 切线 l 的方程为 y  1  x  1 即 y  x  2 ，  l 与 x 轴的交点坐标是 ( 2,0) ，是椭圆 C 的左焦点． Q D(2, 0) 为椭圆 C 的右焦点，  根据椭圆的性质， AB  AD  BD  4 �2 2  8 2 ．