第 3 节 与圆有关的轨迹问题 【基础知识】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【规律技巧】 注意定义域的范围． 【典例讲解】 【例 1】 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动 点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． 【变式探究】 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为邻边 作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹． 解　如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为，线段 MN 的中点坐 标为.由于平行四边形的对角线互相平分， 【针对训练】 1．点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 (　　) 【练习巩固】 1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段 长为 2. (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为，求圆 P 的方程． 相交于不同的两点 2、已知过原点的动直线与圆 （1）求圆 ， ． 的圆心坐标； （2）求线段 的中点 的轨迹 的方程； （3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点：若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由． 相交于不同的两点 3、已知过原点的动直线与圆 （1）求圆 ， ． 的圆心坐标； （2）求线段 的中点 的轨迹 的方程； （3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点：若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1）由 ∴圆 得 的圆心坐标为 （3）由（2）知点 ， ； 的轨迹是以 示，不包括两端点），且 为圆心 ， 为半径的部分圆弧 ，又直线 ： （如下图所 过定点 ， 当 直 线 与 圆 相 切 时 ， 由 ，结合上图可知当 直线 ： 与曲线 只有一个交点． 得 ， 又 时，