巧用直线系求直线方程 【典例】 (2015· 金华模拟 ) 经过两条直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程 为　　　　 . 【常规解法】由方程组 �x  2y  4  0, 即 P(0,2). �x  0, 得� � �x  y  2  0 �y  2. 因 l3 的斜率为3 , 且 l⊥l3, 故 l 的斜率为 4 - . 4 3 4 x+2, 即 4x+3y-6=0. 故直线 l 的方程为 y=3 答案 :4x+3y-6=0 【巧妙解法】方法一 : l 与 l3 垂直 , 故可设 l 的方程为 4x+3y+m=0. x  2y  4  0,P(0,2), 代入直线 l 的方程得 m=-6. 又由 � 得 � �x  y  2  0 故直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. 方法二 : 设经过 l1 与 l2 交点的直线系方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2) =0(λ∈R), 即 (1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0. 因 l 与 l3:3x-4y+5=0 垂直 , 故 (1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得 λ=11. 故直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. 答案 :4x+3y-6=0 【方法指导】 1. 常见的四大直线系方程 (1) 过定点 P(x0,y0) 的直线系 A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0), 还可以表示为 y-y0=k(x-x0)( 斜率不存在时可视为 x=x0). (2) 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). (3) 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 BxAy+m=0(m∈R). (4) 过直线 l :A x+B y+C =0 与 l :A x+B y+C =0 的交点的 2. 应用直线系的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时 , 一定要注意系数及符 号的变化规律 . 【类题试解】经过直线 3x-2y+1=0 和直线 x+3y+4=0 的交 点 , 且平行于直线 x-y+4=0 的直线方程为　　　　　 . 【常规解法】先解方程组�3x  2y  1 得两直线的交点 (-1,-1). 0, � �x  3y  4  0, 又因为直线与 x-y+4=0 平行 , 故直线的斜率为 1. 于是由直线的 点斜式方程求得 :y-(-1)=x-(-1). 即 x-y=0. 【巧妙解法】方法一 : 因为所求直线与直线 x-y+4=0 平行 , 所以 可设所求直线为 x-y+c=0. 又因为该直线过直线 3x-2y+1=0 与直线 x+3y+4=0 的交点 (1,-1), 所以 -1-(-1)+c=0, 即 c=0, 所以 , 所求直线方程为 x-y=0. 方法二 : 因为直线经过直线 3x-2y+1=0 和直线 x+3y+4=0 的交 点 , 所以可 设直线方程为 3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 3  即 (3+λ)x-(2- 1 3λ)y+1+4λ=0. 1 4 2－3 又因为所求直线与直线 x-y+4=0 平行 , 因此 4 =1, 解得 λ=- , 所 以所求直线方程为 3x-2y+1- (x+3y+4)=0, 即 x-y=0. 答案 :x-y=0