6.2.4 向量的数量积 温故知新 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一 个向 量，记作 λa ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当 λ>0 时 ,λa 的方向与 a 方向相同； 当 λ<0 时 ,λa 的方向与 a 方向相反 ； 特别地，当 λ=0 或 a=0 时 , λa=0 运算律： 设 a,b 为任意向 量， λ,μ 为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb 向量的夹角 1. 概念 : (1) 向量的夹角 :  （ 0≤≤ ） b B b   O  A 指出下列图中两向量的夹角 (1) (2) (3)  180 锐角 0 平行 同向 (4) (5) 钝角 直角 垂直 r r ab 平行 反向 0 � �180 夹角的取值范围  ___________ o O o A   (6)  B 问题情境 θ O F θ 位移 S F A 如果一个物体在力 F 作用下产生位移 S ，那么 W :| F || S | cos  F 所做的功为 θ 表示力 F 的方向与位移 S 的方向的夹角。 数量积的定义 1 、两非零向量 a 和 b ，夹角为 θ ，把 |a| |b|cos θ ， 叫 a 与 b 的数量积 记作： a· b=|a| |b|cosθ · 注意： （ 1 ）不能省略； （ 2 ）规定 0 与任一向量数量积等于 0 ； （ 3 ） ·a b 是一数量。 例 1 已知 a 5 , b 4 , o a 与 b 的夹角  120 ，求 a b . 解： a  b | a || b | cos  5 4 cos 120  10 o 随堂练习： r r 1 r r 1、若,与的夹角为， | a | 2 | b | , a b 60� 2 1 r r 则 a �b  ( 2 ) r r r r 2、 | a | 12,| b | 9, a �b  54 2, r r o 则向量与向量的夹角（ a b   ）45 向量的投影的概念 (1) 定义：如图，设OA a , OB b , AOB  , 过点 B 作 BB1 垂直于直线OA , 垂足为 B1 , 则 OB1  b cos  . 我们把 b cos  叫做向量 b 在 a 方向上的投影. B b b   O A1 B a B1 A O a A OA1 | a | cos  B B b b  B1 O  a A O(B1) a A 注意：当  为锐角时，投影是正 值：当  为钝角时，投影是负值；当  = 90° 时 , 投影是 0 . 当  = 0º 时，投 b 影为 ;  b 当  = 180° 时，投影为 . 平面向量数量积的几何意义 : r r r r a� b a� b� cos  r r r r a与的数量积等于的长度与 b a a r r r b在方向上投影的乘积， a b cos  r r r r 或的长度与在方向上投影 b b a b r a cos 的乘积. B b B  O b ┐ B' r � b� cos  O  r � b� cos  A a A 练习：   1、 a 6, e 为单位向量，它们之   o 间的夹角为60 ，则a在e 方向上 的投影是（ 3 ） .     2、已知 a 3, b 5, a  b 12, 求 12   a在b 方向上的投影. 5 4. 性质 : r r r r b0 a⊥ b � a � (1) 垂直的充要条件： __________________ r r r | a |  a � a (2) 求模公式： _______________ r r r r a� b cos  a, b  r r |a |� |b | (3) 夹角公式： _____________________ 5. 数量积的运算律： r r r r a� b  b� a ⑴ 交换律： ___________ r r r r r r b   (a � b)  a � ( b ) ⑵ 数乘结合律：( a) � ________________________ r r r r r r r a� (b  c)  a � ba� c ⑶ 分配律： ___________________ 注意：数量积不满足结合律  r r r r a ��� b c a   r r b c  例 2 ：已知 | a |=3 ， | b |=6 ，当① a ∥ b ； ② a ⊥ b ；③ a 与 b 夹角为 600 时， 分别求 a· b 分析：数量积定义是什么？夹角余弦与模 的积。由此知只要找出它们夹角，代入即可 解：① 若 a 、 b 同向，夹角 θ=00 ，· a b=| a || b |cos00=18 若 a 、 b 反向，夹角 θ=1800 a· b=| a || b |cosθ=-18 ②∵a ⊥ b ∴a ·b=0 ③ a · b =| a || b |cos600=9 例 3 ：求证： （ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2 ； （ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ a2 － b2. 证明：（ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ (a ＋ b)·(a ＋ b) ＝ (a ＋ b)·a ＋ (a ＋ b)·b ＝ a·a ＋ b·a ＋ a·b ＋ b·b ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2. 例 3 ：求证： （ 1 ） (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2a·b ＋ b2 ； （ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ a2 － b2. 证明：（ 2 ） (a ＋ b)·(a － b) ＝ (a ＋ b)·a － (a ＋ b)·b b·a － a·b － b·b ＝ a·a ＋ ＝ a2 － b2.   例： 4 的夹角为120 ，且 a 4, b 2 r r r r 求：（ 1 ） （2） （ 3 ar） br �ar  2br ab 3a  4b      2  2   2 (1) a  b  (a  b )  a  2a  b  b   已知向量 a 与b  2 2     a  2 a  b cos120  b 1  16  2 4 2 ( )  4  12 2 3 2 2      (2) 3a  4b  (3a  4b )  9a2  24a  b  16b 2 1 2  9 4  24 4 2 (  )  16 2 2  304 4 19 2 例： 4 求：（ 1 ）   的夹角为120 ，且 a 4, b 2 r r r r （2） （ 3 ar） br �ar  2br ab 3a  4b       已知向量 a 与b      2   2 (3) (a  b )  (a  2b )  a  a  b  2b 2 2     a  a  b cos120  2 b 12