北京市朝阳区 2021~2022 学年度第一学期期末质量检测 高三数学试卷 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1.  1  i   （ 2 A. ） 2 B. 2 C. 2i D. 2i 【答案】D x2 y2  1 2. 双曲线 16 9 的渐近线方程为（ ） 3 y =� x A. 4 4 y� x B. 3 9 y� x D. 16 3 y� x C. 5 【答案】A 3. 在 5 道试题中有 2 道代数题和 3 道几何题，每次从中抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则在第 1 次抽到 代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为（ 1 A. 6 3 B. 10 ） 3 D. 4 1 C. 2 【答案】D 4. 已知抛物线 A. 2 2 y2  4x 上一点 M 与焦点 F 的距离为 4，则点 M 到 x 轴的距离是（ B. 2 3 C. 4 ） D. 12 【答案】B { 1 x f  x  �2 , x≤1 x 5. 设函数 f ( x )= 2 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） log 2 x , x >1 A. ()  1, � B.  0, 4 C.  1, 4 D.  �, 4 【答案】C 6. 在直角坐标平面 xOy 内， �1 O  为坐标原点，已知点 A � � �2 , 3� �，将向量 uuu r 绕原点按逆时针方向旋转 2 � � OA  uuur uuur 的 坐标为（ ） ，则 OA� 2 得到 OA� � 3 1�  , � A. � � � � 2 2� �3 1� B. � �2 ,  2 � � � � �1 3� C. � �2 ,  2 � � � � �1 3�  , � D. � � � �2 2 � 【答案】B 7. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少 50%．若杂质减少到原来的 10% 以下，则至少需要过滤（ A. 2 次 ）（参考数据： B. 3 次 lg 2 �0.3010 ） C. 4 次 D. 5 次 【答案】C f  x   a sin x  b cos x 8. 若函数 A. 的最大值为 2，则下列结论不一定成立的是（ a2  b2  4 B. C.  a  b  �8 ） ab �2 D.  a  b  �4 2 2 【答案】D ur r ur r r r r r r r m a  2 9. 已知平面向量 a ， b 满足 ， a 与 a  b 的夹角为 120°，记 m  ta   1  t  b  t �R  ， 的取值范 围为（ ）  A. � � 3, �  B. � � 2, � C.  1, � 1 � � , �� � D. � 2 � 【答案】A 10. 如图，将半径为 1 的球与棱长为 1 的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个 组合体的体积为（ 7 A. 6 ） 7  1 B. 6  5 6 7 C. 8  1 D.  1 【答案】C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡上． 5 � 1� x  �的展开式中， 的系数为___________． 11. 在 � � x� x 【答案】10 12. 已知圆 C ： x2  y2  r 2  r  0 ，直线 l ： y  x  2 ，则使“圆 C 上至少有 3 个点到直线 l 的距离都 是 1”成立的一个充分条件是“ r  ____________”． 【答案】3 13. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，取正方形 ABCD 各边的中点 E，F，C，H，作第 2 个正方形 EFGH， 然后再取正方形 EFGH 各边的中点 I，J，K，L，作第 3 个正方形 IJKL，依此方法一直继续下去．则第 4 个 正方形的面积是________________；从正方形 ABCD 开始，连续 8 个正方形面积之和是_________________． 【答案】 255 ②. 32 1 ①. 2 14. 如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA  底面 ABCD， PA  AB  2 ，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点，平面 AEF 与平面 PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）； VAEF 的面积的最大值为_____________． 【答案】 ①. 垂直 ②. 3 � � f  x   sin   x    �   0,   � 2 �的部分图象如图所示，设 g  x   f  x  ，给出以下四个结论： 15. 已知函数 �  g x   ① 函数 的最小正周期是 3 ； �7 5 , ② 函数 g  x  在 区间 � �18 9 � �上单调递增； � � ③ 函数 ④ 直线 3� 0, � � �； g  x  的图象过点 � � 2 � x 13 18 为函数 g  x  的图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】 12 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 记 VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a  2t  1 ， b  4t ， （1）当 t 3 cos B 时．求 c  4t  1 t  1 ． ； t t VABC （2）是否存在正整数 ，使得角 C 为钝角？如果存在，求出 的值，并求此时 的面积；如果不存在． 说明理由． 5 【答案】（1） 13 ； S  2 35 . （2）存在 t  2 ，使得角 C 为钝角.此时 VABC 17. “双践”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五 5 天都要面向所有学 生提供课后服务，每天至少 2 小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别， 为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了 100 人作为样本．发现样本中 未参加任何课后服务的有 14 人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下： 每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4 天 5天 仅参加学业辅导 10 人 11 人 4人 仅参加体育锻炼 5人 12 人 1人 仅参加实践能力创新培养 3人 12 人 1人 （1）从全校学生中随机抽取 1 人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率； （2）从全校学生中随机抽取 3 人．以频率估计概率，以 X 表示这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数． 求 X 的分布列和数学期望； （3）老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有 n  0  n �14  人在本月选择仅参加学业辅导．样本中 其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取 3 人．以频率估计概率，以 X 表示 这 3 人中上个月仅参加学业辅导的人数，以 Y 表示这 3 人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差 D X  、 DY  【答案】（1） 的大小关系（结论不要求证明）． P 27  0.27 100 （2）分布列祥见解析、数学期望 （3） E( X )  3 4 D(Y )  D( X ) 18. 刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广， 而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍 ABCDEF 中，四边形 （1）求证： CD ∥ ABCD 平面 BAE 是正方形，平面 ； BAE 和平面 CDE 交于 EF． AF  3 3 ，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已 （2）若 AB  4 ， EF  2 ， ED  FC ， ABCDEF 知，使几何体 条件①： BF  FC 条件②：平面 条件③：平面 ， CDE  CBF  存在且唯一，并求平面 AF  FC 平面 平面 和平面 BAE 的夹角的余弦值． ； ABCD ABCD ADE ， ， AF  FC BF  FC ； ． 【答案】（1）证明见解析； 2 6 （2）选条件②， 9 19. 已知曲线 W ： （1）若曲线 W 2 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）当 m  1 时，过点 线 x2 2 x y + =1 （ m �R ， m �0 ，且 m �3 ）． 3−m m E  1,0  作斜率为 k  k �0  的直线 l 交曲线 W 于点 A，B（A，B 异于顶点），交直 于 P．过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，直线 AQ 交 x 轴于 C，直线 BQ 交 x 轴于 D，求线段 CD 中 点 M 的坐标． � 3� 0, � 【答案】（1） � � 2� （2）  1,0  20. 已知函数 f  x   2 ln x  x  ln a （1）求曲线 y  f  x （2）求函数 f  x （3）设 在 ，a  0．  1, f  1  处切线的斜率； 的极大值； g  x   ae x  x 2 ，当 a � 1, e  时，求函数 g  x 的零点个数．并说明理由． 【答案】（1） 1 （2） ln 4 ae 2 （3） 1 21. 对任意正整数 n ，记集合 集合 An    a1 , a2 , � � � , an  a1 , a2 , � � � , an 均 为 非负整数．且 a1  a