株洲市 2022 届高三年级教学质量统一检测(一) 数学 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分． 满分 150 分， 考试时间 120 分钟． 第I卷 一． 选择题（本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一 项是符合题目要求的．) 1. 已知集合 M   1, 0,1 , N   3, 0,3 , T   3, 1,1,3 A． M �N  � B． M �N  T ，则  M I N  �T  T  M �N  I T  T D． C． 3  mi  1  ni i ， 其中 m, n �R, i 是虚数单位， 若复数 z  m  ni ， 则复 2. 已知 数 z 为 A． 1  3i B． 1  3i C．  3  i D． 3 i 3. 某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件， 产品的尺寸分别记为 X , Y ，     X  N 1 ,  12 , Y  N  2 ,  22 X , Y 已知 均服从正态分布， ， 其正态分布密度 曲线如图 所示， 则下列结论中正确的是 A． 甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B． 甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C． 甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D． 甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 4. “ x �a " 是 “ x �2 " 的必要不充分条件， 则 a 的取值范围为  3, �  �, 2  B．  �, 2 C．  0, � D． A． �� � � 5  �� 0, � ,sin �   � 2 4 � 5 ， 则 tan  � � � 5. 已知 A． 2 1 B． 2 C． 3 1 D． 3 6.  6 � 1� 1  2x 2 �x  � � x � 的展开式中的常数项为  A． 10 B． 20 C． 30 D． 50 7. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作， 其记载的 “日月历法” 曰： “阴阳之数， 日月 之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千 百五二十岁， L . 生 数皆终， 万物复苏， 天以更元作纪历”． 某老年公寓住有 19 位老人与 1 位义工， 老人与义 工的年龄 (都为正整数) 之和恰好为一遂， 其中 义工年龄不满 24 岁， 老人的年龄依次相 差 1 岁， 则义工的年龄为 A． 18 岁 B． 19 岁 C． 20 岁 D． 21 岁 8. 已知 O 为坐标原点， 双曲线 C: x2 y 2   1( a  0, b  0) F  c, 0  a 2 b2 的右焦点为 ， 直线 x  c 与双曲线 C 的渐近线交于 A、B 两点， 其中 M 为线段 OB 的中点． A F 若 O、、、 M 四点共圆， 则双曲线 C 的离心率为 2 3 A． 3 B． 2 C． 3 D． 2 二． 选择题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分．) 9. 甲罐中有 5 个红球， 5 个白球， 乙罐中有 3 个红球， 7 个白球． 先从甲罐中随 机取出一球放入乙罐， 再从乙罐中随机取出一球． A1 表示事件 “从甲罐取出的球 A 是红球”， 2 表示 事件 “从甲罐取出的球是白球”， B 表示事件 “从乙罐取出的球 是红球”． 则下列结论正 确的是 A1、A2 为对立事件 4 P  B∣ A1   11 B． 3 P  B  10 C． A． D． P  B∣ A1   P  B∣ A2   1 10. 设  是给定的平面， A、B 是不在  内的任意不同的两点， 则 A． 在  内存在直线与直线 AB 平行 B． 在  内存在直线与直线 AB 垂直 C． 存在过直线 AB 的平面与  平行 D． 存在过直线 AB 的平面与  垂直 x  6 是函数 f  x   asinx  bcosx  ab �0  图象的一条对称轴， 则下列说法 11. 若 正确的是 A． b  3a 5 6 是函数 f  x  图象的一条对称轴 B． �2 � � ,0� �是函数 f  x  图象的一个对称中心 C． 点 �3 x D． 函数 12. 设函数 都有 f  x � 7 � � , � 在 �6 6 �上单调递减 y  f  x T  T �0  的定义域为 R ， 如果存在常数 ， 对于任意 x �R ， f  x  T   T �f  x  y  f  x A． 函数 B． 函数 ， 则称函数 y  f  x 是 “类周期函数”， T 为函数 的 “类 周期”． 现有下面四个命题， 正确的是 f  x   3 x f  x  x C． 如果函数 是 “类周期函数” 3 是 “类周期函数” f  x   cos x D． 如果 “类周期函数” 函数 是 “类周期函数”， 那么 “   k , k �Z ” y  f  x 的 “类周期” 为 1 ， 那么它是周期为 2 的周期 第 II 卷 三． 填空题 (本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分) 13. 如图所示， 一个物体被两根轻质细绳拉住， 且处于平衡状态． 已知两条绳上的拉 uu r r r r r r o 45 , F  F 1 2  10 2N F 、F2 ， 且 F1、F2 与水平夹角均为 力分别是 1 ， 则物体 的重力大小为________N． x2 y 2 F 、F2 为椭圆 C : 4  3  1 的两个焦点， M 是椭圆上一点， 若 14. 已知 1 ΔMF1 F2 为直角三角形， 则 ΔMF1 F2 的面积为________． 15. 若函数 f  x   a x  x 2 (a  1) 恰有两个零点， 则 a 的值为________． 16. 已知三棱锥 A  BCD 的各棱长均为 1 ， 且其四个顶点都在球 O 的球面上． 若 过球心 O 的一个截面如图所示， 则该截面中三角形 (阴影部分) 的面积为_______ _． 四． 解答题 (本题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ) 17. (本小题满分 10 分) 已知数列  an  S 为等比数列， 其前 n 项和为 n ， 且 an 1  an  2 � 3n ． (I) 求数列 (II) 求证：  an  a 的公比 q 和 4 的值； a1 , S n , an 1 成等差数列． 18. (本小题满分 12 分) 如图所示， 在四边形 ABCD 中， �D  2�B ， 且 AD  1, CD  3 ， cosB  3 3 ． (I) 求 AC 的长； �BCA   3 ，② BC  6 这两个 （II）若________ ； 求 VABC 的面积． 从① 条件中任选一个， 补充在上面问 题中并作答． 注： 如果选择多个条件分别解答， 按第 一个解答计分． M 1 , M 2 是治疗同一种疾病的两种新药， 某研发公司用若干试 M 验组 进行对比试验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 1 ， 另 2 19. (本小题满分 12 分) M 2 ， 然后观察疗效． 若在一个试验组中， 服用 M 1 有效的小白鼠的只 M M 数比服用 2 有效的多， 就称该试验组为优类组． 设每只小白鼠服用 1 有效 只服用 1 1 M 的概率为 2 ， 服用 2 有效的概率 为 3 ． (I) 求一个试验组为优类组的概率； (II) 观察 3 个试验组， 用  表示这 3 个试验组中优类组的个数， 求  的分布列 和数学 期望． 20. (本小题满分 12 分) 如图所示， 四棱锥 P  ABCD 的底面是边长为 2 的正方形， E、 F、G 分别为棱 AB、、 BC PD 的中点． 设三点 A、、 E G 所确定的平面为  ， PC �  M , PF �  N . (I) 求证： 点 M 是棱 PC 的中点； o (II) 若 PA  底面 ABCD ， 且二面角 P  CD  A 的大小为 45 ． ① 求直线 EF 与平面  所成角的大小； ② 求线段 PN 的长度． F  1, 0  21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中， 已知定点 ， 动点 M 满足： 以 MF 为 直径的圆与 y 轴相切， 记动点 M 的轨迹为曲线 E ． (I) 求曲线 E 的方程； Q  2, 0  l1、l2 ， 直线 l1、l2 与曲线 E 分别交 于两点 A、C 与两点 B、D ， 求四边形 ABCD 面积的最小值． (II) 过定点 作两条互相垂直的直线 22. (本小题满分 12 分) 设函数 (I) 求函数 (II) 当 f  x x � 0,1 f  x   alnx  1  1 a �R  x ． 的单调区间； 时， 证明： x2  x  1  1  e x lnx x ．