寒假作业 2 第一章集合与常用逻辑用语综合提升卷 一、单选题 1．已知集合 A  {1, 2,3} ，则下列结论正确的是（ p : x �R, x 2  2 x 2．设命题 A． C． {3} �A B． 2 �A A． 1 �A x �R , x 2  2 x B． ，则 p 的否定为（ x  R , x 2 3．命题 p ：函数 f  x   x  ） 2x D． ��A ） C． x �R , x 2  2 x x  R , x 2 D． 2 的最小值为 2 2 ，命题 q ： x  0 ，则 p 是 q 的（ x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合 A   x x  3n  1, n �N  子集的是（ A． B   x x  2n  1, n �N  ） ，则下列集合为 A I B 的 ）  1, 7,13,19 5．已知集合 ， 2x B．  1,5, 7,11,13 P   x 1 �x �1 ， M   a, a C．  1,3,5,9,11 D．  1,3,5, 7,9,11 ．若 P �M  P ，则实数 a 的取值范围是（ ） A．  a 1 �a �1 B．  a 1  a  1 C．  a 1  a  1 且 a �0 D．  a 1 �a �1 且 a �0 6．若集合 A   x | a  x  2a  1 ， B   x |1  x  3 ，且 A �B ，则 a 的取值范围是（ ） A． a �1 B． a  2 C． 1  a  2 D． a �2 7．设集合 M  {0,1, 2,3, 4}, N  {1, 3,5} ，若 P  M �N ，则集合 P 的真子集的个数为（ ） A．2 8．已知集合 B．3  C． D．8  ， B   x  x  a   x  a  1  0 ，若 x �A 是 x �B 的必 A  x x2  6x  8  0 要条件，则 a 的取值范围是（ A． C．4 ）  2,3 B．  �, 2  � 3, � D． 9．下列命题中是真命题的是（  2,3  �, 2 � 3, � ） A．若 x，y �R ，且 x  y  2 ，则 x ， y 中至少有一个大于1 B． a  b  0 的充要条件是 a  1 b 2 C． x �R ， x  2 �0 2 D． x �R ， x  3 10．向某 50 名学生调查对 A，B 两事件的态度，其中有 30 人赞成 A，其余 20 人不赞成 A；有 33 人赞成 B，其余 17 人不赞成 B；且对 A，B 都不赞成的学生人数比对 A，B 都 赞成的学生人数的三分之一多 1 人，则对 A，B 都赞成的学生人数为（ A．18 B．19 C．20 ） D．21 11．在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 [k ] ，即 [k ]   5n  k n �Z  ，给出四个结论：① 2015 �[0] ；② 3 �[3] ；③ Z  [0] �[1] �[2] �[3] �[4] 正确结论的个数是( A．1 个 A． a  0 ) B．2 个 12．一元二次方程 必要条件是( a  b �[0] a b ；④“整数 与 属于同一“类””的充要条件是“ ”.其中 ax 2  2 x  1  0  a �0  C．3 个 D．4 个 有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不 ) B． a  0 C． a  1 D． a  2 二、填空题 13．已知集合 A   x | x 2  1 ， B   x | ax  1  0 ，若 B �A ，则实数 a  ______. 14．已知 p： 2 �x �10 ，q： a  1  x  a  1 ， a �R ，且 p 是 q 成立的必要非充分条件， 则实数 a 的取值范围是________． 15．已知  ： x  2m  1 或 x   m ，  ： x  2 或 x �4 ，若  是  的必要条件，则实数 的取值范围是_________. 2� 1 � � � A  �x | m �x �m  �, B  �x | n  �x �n � 3 2 �� 16．设集合 ，且 A, B 都是集合  x | 0 �x �1 的子集，如果把 b  a 叫作集合  x | a �x �b 的“长度”，那么集合 AI B 的“长度”的最小 值是___________. 三、解答题 17．已知集合 A  {x  3  x  2}, B  {x 0 �x  5}, C  {x x  m} . （1）求 A I B, A U B ； （2）若 ( A U B) �C ，求实数 m 的取值范围. 2 18．（1）是否存在实数 m，使 2 x  m  0 是 x  2 x  3  0 的充分条件？ 2 （2）是否存在实数 m，使 2 x  m  0 是 x  2 x  3  0 的必要条件？ 19．已知集合 A  {x | x 2  ax  3  0} ， （1）若1�A ，求实数 a 的值 （2）若集合 B  {x | 2 x 2  bx  b  0} p 20．已知 a �R ，命题 ：“ x �R, x 2  2ax  2  a  0 ，且 x � 1, 2 A �B   3 ，求 A �B 2 q ， x  a �0 ”，命题 ：“ ”. （1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题“ p �q ”为真命题，命题“ p �q ”为假命题，求实数 a 的取值范围. 21．设命题 p：实数 x 满足 x 2  4ax  5a 2  0, a  0 ，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a  1 ，且 p 与 q 均是真命题，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 22．已知集合 A   x∣  2 �x �5 , B   x∣ m  1 �x �2m  1 * （1）当 x �N 时，求 A 的非空真子集的个数； （2）当 x �R 时，若 A I B  �，求实数 m 的取值范围． ． x2  5x  6  0 . 参考答案 1．D 【分析】 根据元素与集合，集合与集合的关系确定正确选项. 【详解】 依题意可知 1 �A, 2 �A,  3 �A, ��A ， 所以 ABC 选项错误，D 选项正确. 故选：D 2．B 【分析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案. 【详解】 解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题 p : x �R , x 2  2 x 的否定为 x  R , x 2 2x . 故选：B. 3．C 【分析】 根据题意命题 p 不等关系，可以求解出 x 的范围，然后与命题 q 中 x 的范围对比即可判断. 【详解】 Q 函数 f  x  x  ( x  2) 2 �0 ( x  2) 2 2 2 x  �2 2 �0 ，整理得 ，又Q x 的最小值为 2 2 ，即 x x p  x＞0 x＞0，而命题 q ： x  0 ，所以 p 是 q 充分必要条件. ， ，故命题 ： 故选：C. 4．A 【分析】 利用集合的交集运算求解. 【详解】 A   x x  3n  1, n �N  ， A �B   x x  6n  1, n �N  ， 因为集合 所以 B   x x  2n  1, n �N  ， 故选：A 5．D 【分析】 根据并集结果可知 M �P ，进而可构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】 解：Q P U M  P ，  M �P  a �P ， a �P 1 �a �1 ， 且 a � a 1 � a �1 ， a �0 ，解得： 1 �a �1   a 的取值范围为 a  1 �a �1 且 a �0 故选：D 6．D 【分析】 根据题意分 A  � 和 A ��两种情况求解. 【详解】 若 a �2a  1 ，即 a �1 时， A  � ，满足 A �B ， 若 A ��，则 a  1 ，因为 A �B ， a �1 � 所以 � 2a  1 �3 ，解得 � 1 �a �2 综上，a 的取值范围是 a �2 . 故选：D. 7．B ，所以 1  a �2 ， 且 a �0 【分析】 根据交集定义确定交集 P ，然后由子集的概念得出结论． 【详解】 由已知 P  M I N  {1,3} ，其中真子集有 �， {1} ， {3} 共 3 个． 故选：B． 8．B 【分析】 利用若 x �A 是 x �B 的必要条件，则必有 B 是 A 的真子集，进而可求解. 【详解】 由   A  x x 2  6 x  8  0   x 2  x  4 ， Q a  1  a ， B   x a  x  a  1 ， 若 x �A 是 x �B 的必要条件，则必有 B 是 A 的子集； a  1 �4 � � � a �2 ， 2 �a �3 ； 故选：B. 9．C 【分析】 对于 A 选项，假设 x ， y 中没有一个大于1 得 x  y �2 ，与 x  y  2 矛盾可判断；对于 B 选 项，当 a  2, b  1 时，必要性不成立，故错误；对于 C 选项，取 x  0 判断；对于 D 选项， 取 x ��  3, 3 � � �时可判断. 【详解】 x y2 x  y �2 x y x �1 y �1 1 解：对于 A 选项，假设 ， 中没有一个