兰州一中 2021-2022-1 学期期中考试卷 高二数学 命题：鲁耀文 审题：杨柳 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟.请将答案填在答题卡上. 第 I 卷（选择题） 一 ､ 单选题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分） 1.设 A. a, b, c �R a 2  b2 1 1  C. a b B. ，且 ab ，则下列不等式成立的是（ ） ac 2  bc 2 D. a  c  b  c 2.设数列  an  为公比不为 1 的等比数列，则下面四个数列：①  an an1 ；④  an  an1 其中是等比数列的有（ A.1 个 B.2 个 C.3 个 A.3 4.在 B. 3 VABC 状是（ 中，内角 3 n n ） D.4 个 3.在 VABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知 1 C. 3  a  ；②  pa  ( p 为非零常数）；③ a  5, C  2, cos A  2 3 ，则 b  （ a cos B  b cos A a  b sin C ） D. 3 2 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ，若 ，且 ，则 VABC ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 5.已知数列  an  满足 a1  1, 1 a51 a52 an  2 an 1 �  2 50  � q （ q 为非零常数）， a ，则 a  （ an 1 an 101 50 a51 ） 的形 1 A.2 B. 2100 1 C.1024 D. 250 6.已知等差数列 A.  an  的前 n 项和为 Sn ，若 a3  2 ，且 S4  S7 ，则下列说法中正确的是（ ）  an  为递增数列 B.当且仅当 n  5 时， Sn 有最大值  n  N∣ n C.不等式 Sn  0 的解集为 D.不等式 an  0 * 10 的解集为 R �x  y  1 �0, � x  y  1 �0, ，则 7.若实数 满足约束条件 � 的最小值为（ � 2 2 2 x  y  2 �0, z  x  y 1 x, y � ） 3 A.1 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 1 8.已知锐角三角形 （ VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .且 b  2a sin B ，则 cos B  sin C 的取值范围为 ）  � 3 3�  �1 3� A. 0, 3 � B. 1, 3 � C. � �2 , 2 � � D. � �2 , 2 � � � � � � � � �x  y  2 �0 � x  2 y  5 �0 ，且目标函数 9.实数对 满足不等式组 � 当且仅当 时取最大值，则 � y  2 � 0  x, y  z  kx  y x  3, y  1 � k 的取值范围为（ ） �1 � �1 � � 1 �  , �� �  ,1� �  ,1� � B. � 2 � C. � 2 � D.  �,1 A. � �2   10.如图，要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 4 ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 6 ，水平 面上的 A.20 �BCD  B.30  , CD  40m ，则电视塔 AB 的高度为（ 3 C.40 D.50 11.设 S 为数列  a  的前 项和， 2a ‫׳‬a  n n n 1 n n 和，若对任意 1 A.3 B. 3 n �N* , Tn  m C. ab2 2ab 3  2 ，则 m 的最小值为（ n 1 n � 1 � � � 2  ，且 3a1  2a2 .记 Tn 为数列 �an  S n 的前 n 项 ） 1 C.2 D. 2 12.已知实数 a､b ，满足 A. ）m B. D. a  log 5 6  log 26 25,3a  4 a  5b ，则关于 a､b 下列判断正确的是（ ） ba2 2ba 第 II 卷（非选择题） 二 ､ 填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 2 2 13.在 VABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 VABC 的面积为 3, b  c  21 ， cos A  4 5 ，则 a 的值为__________. 14.在数列  an  中， an  0 ，且前 n 项和 S n 满足 4 S n   an  1 2  n �N  ，则数列  a  的通项公式为______ ____. 15.已知 x  0, y  0, x  2 y  10 ，则 xy 的最大值是__________. * n 16.设 � 2x 1 � �1 � A  �x∣ 2  0 �, B  x∣ x 2  ax  b �0 A �B  �x∣  x �3� ，若 ，则实数 a 的取值范围 � x  3x  2 �2   为__________. 二 ､ 解答题（共 6 小题，满分 70 分，17 小题 10 分，其他各 12 分） b c ，已知 asin2 B  17.在 VABC 中，内角所对的边分别为 a､､ 3bsinA . （1）求 B ； （2）若 1 3 ，求 sinC 的值. cos A  18.设函数 f  x   mx 2  mx  1 （1）若对于一切 （2）对于 （2）令 an 及 bn  20.（1）已知 （2）已知 恒成立，求 m 的取值范围； m � 2, 2 , f  x   m  5 19.已知等差数列 （1）求 x, f  x   0 . Sn 恒成立，求 x 的取值范围.  an  满足： a3  7, a5  a7  26. an  的前 n 项和为 Sn . ； 1  n �N   ，求数列 b 的前 项和 .  n Tn an  1 n 2 x 5 1 y  4x  2  4 ，求函数 4 x  5 的最大值； x  0, y  0 21.围建一个面积为 且 9x  y  xy 360m 2 ，求 x y 的最小值. 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙 要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元 /m ， 新墙的造价为 180 元 /m ，设利用的旧墙的长度为 x （单位： m ）.设修建此矩形场地围墙的总费用为 y （单 位：元）. （1）将 y 表示为 x 的函数； （2）试确定 x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 22.已知数列  an  中， a1  1, an 1  an n �N * . 4an  3   �1 �  2 � �是等比数列，并求数列 （1）求证： a  an  的通项公式； �n ，满足 bn  n （2）已知数列  b （i）求数列  n 3n  2 2 n  �a n .  bn  的前 n 项和 Tn ； （ii）若不等式 ( 1) n   Tn  n 1  2n n 对一切 n �N* 恒成立，求  的取值范围. 兰州一中 2021-2022-1 学期高二期中考试数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A C A C B C C A B D 1.D A.取 B.取 a  1, b  2 c0 ，则 ，则 a 2  b2 ac 2  bc 2 1 C.取 a  1, b  2 ，则 a ，故错误； ，故错误；  1 b ，故错误； D.由不等式的性质“在不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变”可知 D 正确， 2.D an 1 q 设数列  an  的公比为 q ，则 an ， 3 an 13 �an 1 � 3  � � q 是常数，所以 3 是等比数列； 对于①，因为 an 3 �an �  an  pan 1 an 1  q 对于②，因为 pan 是常数，所以  pan  是等比数列； an an 1an  2 an  2   q2 对于③，因为 an an 1 是常数，所以  an an 1 是等比数列； an an 1  an  2 q  an  an 1   q 对于④，因为 a  a 是常数，所以  an  an 1 是等比数列； an  an 1 n n 1 所以①②③④都是等比数列，所以等比数列有 4 个， 3.A 2 5  b 2  4  2b �2 � 由余弦定理 a  b  c  2bccosA 得 3 ，解得 b  3 （负值舍去）. 2 2 2 4.C a b c   由题意，由正弦定理 sinA sinB sinC acosB  bcosA � sinAcosB  sinBcosA  sinAcosB  sinBcosA  sin  A  B   0 又 即 A, B � 0,    A  B �  ,    A  B  0 A  B, a  b a  bsinC � sinC  1 又 C � 0,    C   2 因此 VABC 为等腰直角三角形 5.A 1 �an 1 � a51 a52 a2 a101 50 L  � 2 ， 解：由数列 �a �为等比数列，得 a � a50 a51 �n 1 a100 50 a101 a2 a3 a4 a100 a