b 母题 1：求解 a、、 c 1. 直线 l : x  2 y  2  0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B ，则该椭圆的离心率为 (　　)1 1 A． 5 　 2 B． 5 　 5 C． 5 2 5 　D． 5 x2 y 2  2 1 2 2 2 b 2. 两个正数 1,9 的等差中项是 a ，等比中项是 b ，则曲线 a 的离心率 为(　　)2 10 A. 5 2 10 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 3. 已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 10 和 4 ，求其离心率。3 4. 【2015·金凤区校级一模】已知椭圆 C: x2 y 2   1( a  b  0) 的左焦点为 F ， a 2 b2 C 与过原点的直线相交于 A、B 两点，连接 AF、BF ，若 AB  10 ， BF  8 ， cos �ABF  3 A. 5 4 5 ，则 C 的离心率为（ 5 B. 7 4 C. 5 ）4 6 D. 7 5. 【2015·福建文】已知椭圆 E: x2 y 2   1(a  b  0) 的右焦点为 F 。短轴的 a 2 b2 一个端点为 M ，直线 l : 3 x  4 y  0 交椭圆 E 于 A、B 两点。若 AF  BF  4 4 点 M 到直线 l 的距离不小于 5 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）5 ， 3 (0， ] 2 ． A 母题 2：利用 3 (0， ] 4 B． e 3 ，1) 2 C． [ 3 [ ，1) D． 4 2c 2a ， 2a 利用椭圆定义转换， 2c 利用焦距表 示 x2 y 2   1( a  b  0) 1. 【2021·大石桥期中】设 M 为椭圆 a 2 b 2 上一点， F1、F2 为 椭圆的焦点，若 2. 椭圆 线 T: �MF1 F2  75�, �MF2 F1  15�, 求椭圆的离心率。6 x2 y 2   1( a  b  0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，焦距为 2c 。若直 a 2 b2 y  3( x  c) 与椭圆 T 的一个交点 M 满足 的离心率等于________．7 �MF1 F2  2�MF2 F1 ，则该椭圆 3. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ，过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ， 若 F1 PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)8 2 2 1 A． 2 　　 　B． 2 4. 在 ABC 中, �A  90 , � C． 2  2 　 tan B  D． 2  1 3 4 。若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭 圆的离心率 e  _________.9 x2 y 2  2  1( a  b  0) 2 b 5. 过椭圆 a 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为 � 右焦点，若 �F1PF2  60 ，则椭圆的离心率为(　　)10 2 A. 2 3 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 母题 3：利用 a 与 c 建立一元二次方程不等式 1. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心 率为(　　)11 1 A. 2 3 B. 2 3 C. 4 6 D. 4 2. 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C: 线交椭圆于 A、B 两点，且 x2  y 2  1(a  0) 2 a ，过右焦点作垂直于 x 轴的直 AB =1 ，则该椭圆的离心率为________．12 x2 y 2   1( a  b  0) 3. 【2015·江西二模】椭圆 a 2 b 2 的两顶点为 A( a, 0)，B(0, b) , 且左焦点为 F ， FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 （ A. ）13 3 1 2 1 5 B. 4 C. 5 1 2 1 3 D. 4 2 x2 y2 4. 【2016·江西模拟】斜率为 2 的直线 l 与椭圆 a 2  b2  1(a  b  0) 交于不 同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆 的离心率为（ 2 ． 2 A ）14 1 B． 2 3 C． 3 1 D． 3 x2 y 2   1(a  b  0) 5. 已 知 椭 圆 a 2 b 2 ，以 a， b ， c为系数的关于 x的方程 ax 2  bx  c  0 e 无实根，求其离心率 的取值范围。15 x2 y 2 C : 2  2  1(a  b  0) 6. 【2015·潍坊模拟】椭圆 的左右焦点分别为 F1、F2 ， a b 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ，使得 的离心率的取值范围是（ 1 2 A. ( 3 , 3 ) 1 B. ( 2 ,1) F1 F2 P 为等腰三角形，则椭圆 C ）16 2 C. ( 3 ,1) �1 1 � 1 , �U ( ,1) D. � �3 2 � 2 x2 y 2   1 (a  b  0) 7. 【2016 春·绵阳校级月考】已知点 F1、F2 分别是椭圆 a 2 b2 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若 是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（ A． (0, 2  1) B． ( 2  1,1) C． (0, 3  1) ）17 D． ( 3  1,1) ABF2 母题 4：利用焦半径的取值范围为 [a  c, a  c] 1. 【2020·宜昌期末】已知 F1、F2 是椭圆 点，若椭圆 C 上存在点 P ，使得线段 离心率的取值范围是（ 2 A. [ 3 ,1) C: PF1 x2 y 2   1(a  b  0) 的左、右焦 a 2 b2 的中垂线恰好过焦点 ） 1 2 B. [ 3 , 2 ] 1 C. [ 3 ,1) 1 D. (0, 3 ] F2 ，则椭圆 C 母题 5：利用最大顶角  满足 sin  �e  1 2 x2 y2   1( a  b  0) 1. 已知椭圆 a 2 b2 的焦点分别为 F1、F2 ，若该椭圆上存在点 P ， 使得 2. �F1PF2  60� ,则椭圆离心率的取值范围是 。 x2 y2   1( a  b  0) 已知椭圆 a 2 b2 ， F1、F2 是两个焦点，若椭圆上存在一点 P ， 使 �F1 PF2  2 3 ，求其离心率 e 的取值范围 。18 3. 设 F1、F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点 M 都满足 �F1MF2 为锐角， 则椭圆离心率的取值范围是(　　)19 1 (0, ] A． 2 　B． (0, 2 ) 2 C． (0,1) 2 ,1) D． 2 [ 母题 6：利用基本不等式 1. 【2020·龙凤一模】在椭圆上有一点 M ， MF1 �MF2  2b2 F1、F2 ,椭圆的离心率的取值范围是 是椭圆的两个焦点，若 。 母题 7：根据离心率求参数取值 1 x2 y 2  1 1. 【2015·河北区模拟】若焦点在 x 轴上的椭圆 2 m 的离心率为 2 ，则 m （ 3 2 A. 2. ）20 B. 3 C. 8 3 D. 2 3 1 x2 y2  2  1( a  b  0) 2 b 【2019·北京理】已知椭圆 a 的离心率为 2 ，则(　　)21 3. 2 2 A． a  2b 　 2 2 B． 3a  4b 　　　　 C． a  2b 　 D． 3a  4b x2 y 2 1  1 若焦点在 y 轴上的椭圆 m 2 的离心率为 2 ，则 m 的值为____.22 1 [解析]　令 x＝0，得 y＝1，令 y＝0，得 x＝－2，由题意知椭圆的半焦距 c＝2，短半轴长 b＝1，∴a＝，∴离心率 e＝＝. | AF |2 | AB |2  | BF |2 2 | AB || BF | cos �ABF 4  100  64  2 �10 �8 � �a  c  10 �a  7 5 c 3 4 � � e   cos �ABF  , c3 �a  c  4 � a 7 5  36, c 5 e   . 0 ' ' ' ' ' ' | AF | 6, �BFA  90 F BF , AF AFBF | BF | 6,| FF | 10  2a  8  6, 2c  10 a 7 2c | MF1 | | MF2 | 4b 4 3 2c | MF1 | | MF2 |   (0， ] �   5 5 3 2 sin �F1MF2 sin �MF2 F1 sin �MF1 F2 sin 90� sin15� sin 75� 2c | MF1|  | MF 2 | 2a c 1 6 c 4x 1 e= = =   e   a 8x 2 sin 90� sin15� sin 75� sin15� sin 75� a sin15� sin 75� 3 2 2 2 b0 b 0b b b b b a c    ( ) �      1 2 0 c  ac  a 2  0, 0a a c  0 c Q �FBA  90 a c ac ac  c c 5 1 5 1 5 1 2 2 ( ) 2   1  0, 2 e e e  (  c,  c ) ( c, c) e  e 1  0 a a 2 2 Q 0  e 1 2 2 2 1 c 2 c2 c2 c2   1 2 e  2 2 2 2 2 a 2b a 2 a 2   b 2  4ac  0 (a  c )  4ac  0 c 2  4ac  a 2  0 a 2 1 1 1 1 1 e e e� e e� 2 e  4e  1  0 e   5  2 e  5  2 e �(0,1) e �( 5  2,1) 3 2 2 3 2 2 b 2 2 2 2 �1 1 � 1 x y b b e �� , �U