考点 14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系 与诱导公式 本考点是高考考查的重点，三角函数模块是高中知识的重要模块之一，而本考点是三角函数知识的基础， 要想熟练掌握三角函数的考查点，必须先打好基础，具体要求我们掌握以下几点： 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出  � ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 π � 2 y  sin x, y  cos x, y  tan x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解同角三角函数的基本关系式： sin x  tan x . sin x  cos x  1 cos x 2 2 ， 一、角的有关概念 1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类 （1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角． （3）终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S  { |     k·360� , k �Z} ． 3．象限角与轴线角 � �  2π2π, k   k  第一象限角的集合为 � � � π � k �Z �； 2 π 2 � k �Z �；  2π2ππ, k    k  第二象限角的集合为 � � �  2ππ2π, k    k  第三象限角的集合为 � � � 3π � k �Z �； 2 3π 2  2π2π2π, k     .k  第四象限角的集合为 � � k �Z � 终边与 x 轴非负半轴重合的角的集合为 k     2π, 终边与 x 轴非正半轴重合的角的集合为 k      2ππ, 终边与 x 轴重合的角的集合为 k �Z ； k �Z ；     kπ, k �Z ； π � �    2π, k  k �Z � � 终边与 y 轴非负半轴重合的角的集合为 � ； 2 π � �    2π, k  k �Z � � 终边与 y 轴非正半轴重合的角的集合为 � ； 2 π � �    kπ, k �Z � � 终边与 y 轴重合的角的集合为 � ； 2 � �  终边与坐标轴重合的角的集合为 � 二、弧度制 1．1 弧度的角 kπ � , k �Z �． 2 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． 规定：   l , l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧  r r 度数为负数，零角 的弧度数为零． 2．弧度制 用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值 l 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关． r r 3．弧度与角度的换算 180πrad � , 1rad = 180π� � 57.3 �� , 1 � = � rad � � �π180 � ． 4．弧长公式 l   r ，其中  的单位是弧度， l 与 r 的单位要统一. 角度制下的弧长公式为： l  nπr （其中 为扇形圆心角的角度数）. n 180 5．扇形的面积公式 1 1 S  lr   r 2 . 2 2 角度制下的扇形面积公式为： S  nπr 2 （其中 为扇形圆心角的角度数）. n 360 三、任意角的三角函数 1．定义 设  是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，点 OP  r  r  0  意 一 点 ， P到 原 点 的 距 离 ，那么角 P  x , y 是角  的终边上任 的正弦、余弦、正切分别是 sin   y x y , cos   , tan   r r x． 注意：正切函数 tan   π � � y   �kπ, k �Z �，正弦函数和余弦函数的定义域都是 . 的定义域是 � 2 � x R 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角  的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P ，过 P 作 PM 垂直 于 x 轴 于 M ． 由 三 角 函 数 的 定 义 知 ， 点 P 的 坐 标 为  cos  , sin   ， 即 P  cos  , sin   ， 其 中 cos   OM , sin   MP , 单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A ，单位圆在 A 点的切线与  的终边或其 反向延长线相交于点 T ，则 tan   AT ．我们把有向线段 OM , MP , AT 分别叫做  的余弦线、正 弦线、正切线． 各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限 图形 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4．特殊角的三角函数值 0�  sin  cos  tan  30� 45� 60� 0 π 6 π 4 π 3 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 3 3 1 补充： sin15� cos 75� 3 90� 120� 135� 150� 180� 270� 360� π 2 2π 3 3π 4 5π 6 3π 2 2π 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 0 不存在  1 2  3 2 2  1 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系 sin 2   cos 2   1 ． 2．商的关系 sin   tan ． cos  3．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形： （2）商的关系的变形：  3 2 1 0 1  3 3 0 不存在 0 6 2 6 2 , sin 75� cos15� , 4 4 tan15� 2  3 , tan 75� 2  3 . sin 2   1  cos 2  , cos 2   1  sin 2  sin   tan  � cos  , cos   ； sin  tan  ； π （3） 1 1 1  tan 2   1 , 2   1． 2 cos  sin  tan 2  五、三角函数的诱导公式 公式 角 一 2kπ+α （k∈Z） 二 三 四 五 六 π+α −α π−α  −α 2  +α 2 正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα 正切 tan α tanα −tanα −tanα 口诀 函数名不变， 函数名改变， 符号看象限 符号看象限 考向一 三角函数的定义 1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两 种情况(点所在象限不同)． 2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集． 3．已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值( sin  ， cos  ， tan )中任意两个的符 号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特 殊情况. 典例 1 已知角 的终边上有一点 P（  【解析】由已知有  3 ，m），且 sin  2 m，求 与 的值. cos tan 4 2 m m . ，得 m=0，或 4 3  m2 m�5 当 m=0 时， cos  1, tan  0 ； 当 当 m 5 时， cos   m 5 6 15 , tan   ； 4 3 6 15 , tan  . 4 3 时， cos   【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关，而与角 α 终边上点 P 的位置无关．若角 α 已 经给出，则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置，角 α 的三角函数值都是确定的． � 7π7π � sin , cos � 6 6 �，则   （ 1．已知角   0 �  2π  终边上一点的坐标为 � � 5π A． 6 7π B． 6 4π C． 3 5π D． 3 ） 考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 1．已知 θ 所在的象限，求  n 或 nθ（n N*）所在的象限的方法是：将 θ 的范围用不等式（含有 k）表示， � 然后两边同除以 n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到 2．象限角的判定有两种方法： 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；  n 或 nθ（n N*）所在的象限． � 二是先将此角化为 k·360°＋α（0°≤α<360°，k �Z）的形式，即找出与此角终边相同的角 α，再由角 α 终边所 在的象限来判断此角是第几象限角． 3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号 得负”求解. 典例 2 已知 sin 【解析】因为  3  4  cos   2 5, 2 5 ,试确定角 α 是第几象限的角. sin  3  4   cos   2 5 >0, 2 5 <0，所以 2 是第二象限的角， π  2π2ππ, k    k  所以 2 2 由 sin k �Z .  3 2 3π    2π2ππ, k    k  知 2 5 2 4 2 3π k �Z ,所以 4π4π2π, k    k  2 故角 α 是第四象限的角. 【名师点睛】角 若角 若角 若角 若角  与 所在象限的对应关系： 2 