10.1.4 概率 本性质 A∩B=Φ 互斥 ( 互不相容 ) A 与 B 不能同时发生 互为对立 A 与 B 有且仅有一个发 A∩B=Φ,AUB=Ω 生 (1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个 ； 等可能性：每个样本点发生的可能性相等 . (2) 概率的取值范围 ; 特殊事件的概率 ; 事件有某些特殊关系时 , 它们的概率之间的关 系; 任何事件 A 的概率都是非负的 P(A)≥ 0 必然事件ΩA P(A)=1 P(Ω)=1 不可能事件ΦA P(A)=0 P(Φ)=0 任意事件 A 发生的概率的 范围0 P ( A) ： 1 思考： P ( A U B )  P ( A)  P ( B ) 性质 3 推论 如果事件 A 1,A 2,…, Am 两两互斥 , 那么事件 A1 ∪A 2∪ …∪Am 发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率之和 , 即 P(A 1 ∪A 2∪…∪Am)=P(A 1)+P(A 2) +…+P(Am). P ( A )+ P ( B )  1  P ( A )  1  P ( B ) 思考： 在古典概率模型中，对于事件A和事件B， 如果Aͣ B，那么n(A) n(B) n(A) n(B) ∴即 � , P ( A) �P ( B ) n(  ) n(  ) 性质 5( 概率的单调性 ) 如果 A⊆B ，那么 P(A)≤P(B). 思考： P ( C U F )  P (C )  P ( F )  P ( C I F ) 性质 6 设 A 、 B 是一个随机试验中的两个事件， 有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 1 P ( C )  P ( A)  P ( B )  2 1 P ( D )  1  P (C )  2 例 2 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活 动: 将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖 的饮料 . 若 A=“ 中奖”，事件 A 1=“ 第一 解 设事件 从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少 ? ： 罐中奖”，事件 A2 =“ 第二罐中奖”， A1A2 那 么事件 A lA 2=“ 两罐都中奖”， A1A2 = “ 第一罐中奖 , 第二罐不中奖 ", A1A2 A1A2 因为 A1 A2 、 A1A2 A 、 两两互斥， 1A2 = P(A)=P(A1 A所以 A1A2 )+P( A1A2 “ 第一罐不中奖，第二罐中奖”，且 2)+P( A=A 1 A2 ∪ . )∪ 第一罐 第二罐 可能结果数 1 中奖 2×1=2 借助树状图 ( 如 中奖 不中 2 2×4=8 右图 ) 来求相应 4 奖 2 中奖 4×2=8 不中 事件的样本点数 4 不中 奖 4×3=1 . 3 奖 2 例 2 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活 动: 将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖 的饮料 . 若 第一罐 可能结果数 第二罐 从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少 ? 1 中奖 2×1=2 中奖 不中 2 2×4=8 4 奖 2 中奖 4×2=8 不中 4 不中 奖 4×3=1 3 奖 2 可以得到， n(Ω)=6×5=30 ，且每个样本点都是等可能的 . 因为 n(A 1A 2)=2 ， n( )=8 A1A2 )=8 ，A1n( A2 2 8 8 18 3 ，所以     P(A) 5 30 30 30 30 = 例 2 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活 动: 将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖 的饮料 . 若 从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少 ? 你还有另外方法求解此题吗 ？事件 A 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖” . 由于 A1A2 =“ 两罐都不中奖”，而 n( A1A2 )=4×3=12 ，所以 12 18 3   P(A) 1- A1A2 1 30 30 5 = P( )= 例 2 为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活 动: 将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖 的饮料 .若 解：设不中奖的 4 罐记为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，中奖的 2 罐记为 从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少 ? a，b， 随机抽 2 罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为： (1 ， 2) ， (1 ， 3) ， (1 ， 4) ， (1 ， a) ， (1 ， b) ， (2 ， 1) ， (2 ， 3) ， (2 ， 4) ， (2 ， a) ， (2 ， b) ， (3 ， 1) ， (3 ， 2) ， (3 ， 4) ， (3 ， a) ， (3 ， b) ， (4 ， 1) ， (4 ， 2) ， (4 ， 3) ， (4 ， a) ， (4 ， b) ， (a ， 1) ， (a ， 2) ， (a ， 3) ， (a ， 4) ， (a ， b) ， (b ， 1) ， (b ， 2) ， (b ， 3) ， (b ， 4) ， (b ， a) ， 而能中奖的样本数为： 18 个 所求概率 P （ A ） =18/30 =0.6 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件 A ，“未中靶”为事件 B ，则 A 与 B 互为对立事件，故 P(A)=1-P(B) =1-0.05 =0.95 解： (1)“ 甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋” 与“乙获胜”是互斥事件，所以甲获胜的概率为： 1- （ 0.5+0.3 ） =0.2 (2) 设事件 A={ 甲不输 } ， B={ 和棋 } ， C={ 甲获胜 } ，则 A=B∪C ，因为 B ， C 是互斥事件，所以： P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2 =0.7 C 1. 概率的基本性 质性质 1 对任意的事件 A ，都有 P≥0. (A) 性质 2 必然事件的概率 1 不可能事件的概率 0 ， 为 ， 为， P( ∅ )=0 . 即 P(Ω)=1 性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+ P(B). 推论 如果事件 A 1,A 2,…, Am 两两互斥 , 那么事件 A1 ∪A 2∪ … ∪Am 发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率之 和 ,4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件， 性质 即 P(A 1 ∪A 2∪…∪Am)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(Am). 那么 P(B)=1-P(A) ， P(A)=1-P(B). 性质 5( 概率的单调性 ) 如果 A⊆B ，那么 P(A)≤P (B). 推论 对于任意事件 A ， 0≤P(A)≤1. 性质 6 设 A 、 B 是一个随机试验中的两个事件， 有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).