余弦定理、正弦定理的综合应用专题强化练 （原卷+答案） 一、选择题 1.若钝角三角形 ABC 的面积是 A.5　　　B. ❑ √5 1 2 ,AB=1,BC= ❑ √2 (　　) ,则 AC= 　　　C.2　　　D.1 2.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个问题,分为九类,每类九 个问题.《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a,b,c 求面积 S 的公式,这与海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以 小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”把这段文字写成公式即 S= √ ❑ [ ( 1 2 2 c 2+ a2 - b2 c a 4 2 ) ] . 现有周长为10+2 √7 的 △ ABC 满 2 ❑ ,则用上述公式求得△ABC 的面积 S 为 A.12　　　B.8 (　　) ❑ √ 7C .4 ❑√ 7 D .6 ❑√3 3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,B= 的平分线与 BC 交于点 E,则 AE= A. 足sinA ∶ sin B∶ sinC=2 ∶ 3 ∶ ❑√7 ❑ √ 6 B . ❑√7 C .2 ❑√2 2π 3 ❑ √3 ,b=2 ,b2+c2-a2= ❑ √3 bc.若∠BAC (　　) 　　　D.3 ❑ 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 √3 6 a,则 b c + c b 的最大值为 (　 ) A.8　　　B.6　　　C.3 ❑ √2 　　　D.4 二、填空题 5.设地球表面某地正午太阳高度角为 θ,ξ 为此时太阳直射纬度,φ 为该地的纬度值,则有 θ=90°-|φ-ξ|.根据 地理知识,某地区的纬度值约为北纬 27.95°,当太阳直射南回归线(此时的太阳直射纬度为-23.5°)时物体的 影子最长,如果在当地某高度为 h0 的楼房北边盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 (如图所示),两楼的距离至少约为 h0 的　　　　倍.(tan 38.55°≈0.80) 6 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为　　　　. 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若| ⃗ CA − ⃗ CB |=3, ⃗ CA · ⃗ CB =6,则△ABC 面积的 最大值为　　　　. 8.在锐角△ABC 中,D 为 BC 的中点,BC=2,sin B+sin C=2sin∠BAC,则 AD 的取值范围是　　　　. 三、解答题 9.自新冠疫情发生以来,餐饮业受到重大影响.3 月份复工复产工作逐步推进,居民生活逐步恢复正常.李克强 总理在 6 月 1 日考察山东烟台一处老旧小区时提到,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源,是人间的 烟火,和“高大上”一样,是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商场 门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点 R 处有一个路灯,经测量点 R 到区域 边界 PA,PB 的距离分别为 RS=4,RT=6.陈某准备过点 R 修建一条长椅 MN(点 M,N 分别落在射线 PA,射线 PB 上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计),以供购买冷饮的人休息. (1)求点 P 到点 R 的距离; (2)为优化经营面积,当 PM 为多少时,三角形 PMN 的面积最小?并求出最小面积. 1.在△ABC 中,已知 B=120°,AC= A.1　　　B. ❑ √ 2C . ❑√ 5 2.在△ABC 中,cos C= A. 2 3 ❑ √ 19 ,AB=2,则 BC= (　　) 　　　D.3 ,AC=4,BC=3,则 cos B= (　　) 1 1 1 2 B. C . D. 9 3 2 3 3.在△ABC 中,∠B=60°,AB=2,M 是 BC 的中点,AM=2 ❑ √3 ,则 AC=　　　　　,cos∠MAC=　　　 . 4.记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b2=ac,点 D 在边 AC 上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若 AD=2DC,求 cos∠ABC. 5.在① ac= ❑ √3 ,②csin A=3,③c= ❑ √3 b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三 角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin A= ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 6.△ABC 中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求 A; (2)若 BC=3,求△ABC 周长的最大值. ❑ √3 sin B,C= π 6 ,　　　 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=2 ❑ √2 ,b=5,c= ❑ √ 13 . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A 的值; (3)求 sin (2 A + π4 ) 的值. 8.2020 年 12 月 8 日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位:m),三角高程测量法 是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有 A,B,C 三点,且 A,B,C 在同一水平面 上的投影 A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由 C 点测得 B 点的仰角为 15°,BB'与 CC'的差为 100;由 B 点测得 A 点的仰角为 45°,则 A,C 两点到水平面 A'B'C'的高度差 AA'-CC'约为( ❑ √3 ≈1.732) (　　) A.346　　　B.373　　　C.446　　　D.473 9.如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路 l,湖上有桥 AB(AB 是圆 O 的直径).规划 在公路 l 上选两个点 P,Q,并修建两段直线型道路 PB,QA,规划要求:线段 PB,QA 上的所有点到点 O 的距离 均不小于圆 O 的半径.已知点 A,B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C,D 为垂足),测得 AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长; (2)在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位:百米),求当 d 最小时,P,Q 两点间的距离. 10.记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 ❑ √3 ,B=60°,a2+c2=3ac,则 b=　　　　. 11.在△ABC 中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a 的值; (2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①:c=7,cos A=- 条件②:cos A= 1 8 1 7 ; ,cos B= 9 16 . 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 参考答案 一、选择题 1 1 1 AB × BC ×sin B= × 1× ❑√ 2× sin B= 2 2 2 1.B　得, π 3π 3π 或 B= .当 B= 4 4 4 ❑ √5 ❑ ,∴sin B= √2 2 ,∴B= 时,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC= (负值舍去),此时△ABC 为钝角三角形,符合题意;当 B= π 4 时,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2- 2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= ❑ √5 . 2.D　由题意及正弦定理得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶ ❑ √7 因为△ABC 的周长为 10+2 ❑ √7 ❑ √7 所以 a+b+c=10+2 所以 a=4,b=6,c=2 所以 S=6 ❑ √3 c ∴ sin π 6 π 6 = √7 , , , . . 3.A　∵b2+c2-a2= ∴∠BAC= 　 ❑ √3 ,又∵B= 2 ❑√ 3 2π sin 3 b2 +c 2 - a2 ❑√ 3 = 2 bc 2 bc,∴cos∠BAC= 2π 3 ,∴c= ,∴C= π 6 2 ❑√3 1 × ❑ √3 2 2 , =2. ,∵∠BAC∈(0,π), 1 π ∠BAC = 2 12 ∵AE 平分∠BAC,∴∠BAE= ∴ c AE = sin∠ AEB sin B ,∴∠AEB=π- 2π π π − = 3 12 4 , ❑ c 2 2π 2 3 ×sin B= × sin = ❑ × √ =❑√ 6 sin∠ AEB π 3 2 2 √ sin 4 2 ∴AE= , . ❑ √3 4.D　∵BC 边上的高为 ❑ 1 3 1 a × √ a= 2 6 2 ∴S△ABC= ∴a2=2 ❑ √3 ∵A∈(0,π),∴A+ ∴当 A+ 4sin ∴ π π = 6 2 ( A+ π6 ) b c + c b a, bcsin A, bcsin A,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,∴2 b2 +c 2 =2 ❑√ 3 bc 得, 6 sin A+2cos A,即 π π 7π ∈ , 6 6 6 ( ,即 A= π 3 ) b c π + =4 sin A + c b 6 ( , 时, 有最大值,且最大值为 4. 的最大值为 4. 二、填空题 5.答案　1.25 　由题意知,ξ=-23.5°,φ=27.95°, 则 θ=90°-|φ-ξ|=90°-|27.95°-(-23.5°)|=38.55°, 则楼房的影长为 ℎ0 ℎ0 ℎ = ≈ 0 tan θ tan 38.55 ° 0.80 所以两楼的距离至少约为 h0 的