高一上册数学期末检测题(三）（北师大版（2019）老高 考） 一、单选题 1．若 P  A �B   1 ，则互斥事件 A 和 B 的关系是（ ） A． A �B B．A，B 是对立事件 C．A，B 不是对立事件 D．A=B  a , 0, 1   a, b, 0 ，则  ab  2 2．若 A．0 3．若“ 2021 的值为（ C． 1 B．1 bc0 ”是“抛物线 ） y  ax 2  bx  c 经过原点”的（ D． � ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．函数 A． f ( x )  a x 2  3 (2, 2) （ a0 B． 且 a �1) ）的图象必经过的定点是（ (3, 3) C． (2, 3) ） D． (0, 3) 5．下表为 12 名毕业生的起始月薪： 毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪 1 2850 7 2890 2 2950 8 3130 3 3050 9 2940 4 2880 10 3325 5 2755 11 2920 6 2710 12 2880 根据表中所给的数据计算第 85 百分位数为（ A．2710 B．2890 1 1 6．设 2a  5b  m ，且   2 ，则 m 等于（ a b A．100 B． � 10 ） C．3130 D．2940 ） C． 10 D． log 2 10 7．若函数 y  ax  1 A． a  1 在  0,1 内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ B． a  1 ） D． a  1 C． a  1 8．在一次体检中，发现甲､乙两个单位的职工中体重超过 75kg 的人员的体重如下（单 位： kg ）.若规定超过 80kg 为显著超重，从甲､乙两个单位中体重超过 75kg 的职工中 各抽取 1 人，则这 2 人中，恰好有 1 人显著超重的概率为（ A． 1 4 9．函数 3 B． 8 f ( x)  C． x3 1  ln | x | 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 1 2 ） D． 5 8 10．设函数 f  x f  x   kx  m 的定义域为 R ， ，若 f  0   f  3  2 A． 2 11．设 f  x  1 ，则 为奇函数， f  2022   为偶函数，当 x � 1,3 时， ） D． 4 C． 2 B． 0 y  3x  1 （ f  x  1 ， c  b  a ，若函数在 x  c 的函数值大于函数在 x  a 的函数值，函数 在 x  a 的函数值大于 x  b 的函数值，则下列关系式中一定成立的是（ b a B． 3  3 c b A． 3  3 c a C． 3  3  2 ） c a D． 3  3  2 � e x , x  0 �x f  x  � e , 0 �x �1 12．设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满足 � 3  x , x  1 x1 x2 x3 � f  x1   f  x2   f  x3  ，则 � 9� 1, � � A． � 2 � x1 f  x1  +x2 f  x2   x3 f  x3  的取值范围是（ � 9� 2, � � C． � 4 � B．  1, 2  ） � 9� 1, � � D． � 4 � 二、填空题 13．从个体数为 N 的总体中抽出一个样本量是 20 的样本，每个个体被抽到的可能性是 1 ，则 的值是______． N 5 14．若幂函数 y  xa 2  4 a 9 的图像关于 y 轴对称，且在  0, � 上是严格减函数，则正整 数 a 的值是______． 15．若函数 f ( x)  log 1 (  x 2  4 x  5) 3 16．已知 a  0, b  0 ，且 ，则 f ( x) 的单调递减区为________________． 1 2 2   ，则 2a  b 的最小值为___________. a2 b 3 三、解答题 17．某高校从大二学生中随机抽取 200 名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成 绩（均为整数）分成六组  40,50  ，  40,50  � � ，� ，  90,100 后，得到如下频率分布直方 图. （1）求成绩在  70,80  内的频率； （2）根据频率分布直方图，求样本中 200 名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩 的众数、中位数（结果保留到 0.1）. 18．已知 m  x 2  2t  3, n  4 x  2 ． （1）当 t  0 时，比较 m，n 的大小关系； （2）当 x � 3, 4 19．已知函数 时， m �n 恒成立，求实数 t 的取值范围． y  kx  log 9  9 x  1  k �R  的图像关于 y 轴对称． （1）求 k 的值； 1 （2）若此函数的图像在直线 y  2 x  b 上方，求实数 b 的取值范围（提示：可考虑两者 函数值的大小．） 20．某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、 1 1 乙各自独立破译出该密码的概率分别为 ， ． 3 4 （1）求他们恰有一人破译出该密码的概率； （2）求他们破译出该密码的概率； （3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于 80%，那么至少需要再 增添几个与甲水平相当的人？ 21．已知函数 f  x   2 �4 x 1  a � 2x  1 （1）若 a  6 ，求不等式 （2）若关于 x 的方程 f  x  0 f  x  0 . 的解集； 有解，求 a 的取值范围. 22．若函数 x � a, b  F  x 时， 在区间 D 上有意义，且存在闭区间 F  x 的值域也是  a, b �D （其中 a  b ），使当  a, b ，则称函数 F  x  是区间 D 上的“优函数”，区间  a, b 称为 F  x  的“等域区间”. （1）已知函数 f  x  3 x  2 是区间 （2）是否存在实数 k，使函数  0, � 上的“优函数”，求 f  x  的“等域区间”； g  x   x2  k 的取值范围；若不存在，说明理由. 是区间  �, 0 上的“优函数”？若存在，求 k 参考答案 1．B 【分析】 根据概率性质， P  A U B   P  A  P  B   1 ，即可判断 A 与 B 的关系. 【详解】 由题意，事件 A 与 B 是互斥事件，则 P  A U B   P  A  P  B   1 ， 则 A ， B 是对立事件. 故选：B 2．C 【分析】 �a 2  a �a 2  b � � 根据题意得出 � b  1 或 �a  1 ，求解即可. 【详解】 �a 2  a �a 2  b � � 因为  a 2 , 0, 1   a, b, 0 ，所以 � b  1 或 �a  1 ， �a 2  a a0 a 1 � � � � � 由� b  1 可解得 � b  1 （不符合，舍去）或 � b  1 ， �a 2  b a  1 � � � 由 �a  1 可解得 � b 1 ，  ab  综上， ab  1 ，则 2021  1 . 故选：C. 3．A 【分析】 由“抛物线 【详解】 y  ax 2  bx  c 经过原点”得 c =0 ，再根据充分条件与必要条件概念判断即可. 解：当“抛物线 所以若“ y  ax 2  bx  c bc0 经过原点”时， y  ax 2  bx  c ”是“抛物线 c =0 ， 经过原点”的充分不必要条件. 故选：A 4．A 【分析】 结合指数函数的性质，令 x  2  0 ，有 f  2   a 0  3  2 ，即得解 【详解】 由题意，由于指数函数 在函数 y  ax 过定点 f  x   a x  2  3  a  0, a �1 令 x  2  0 ，有 f  2   a 0  3  2 故函数图象必经过的定点是 (0,1) ， 中， ，  2, 2  ， 故选：A 5．C 【分析】 将数据按从小到大顺序排列，结合百分位数概念计算即可. 【详解】 将数据从小到大排列： 2710 2755 2850 2880 2880 2890 2920 2940 2950 3050 3130 3325 12 �0.85  10.2 ，故表中所给的数据计算得第 85 百分位数为第 11 位数：3130. 故选：C 6．C 【分析】 1 1 由 2a  5b  m ，得到 a  log 2 m, b  log 5 m ，再由 a  b  2 求解. 【详解】 因为 所以 则 2a  5b  m ， a  log 2 m, b  log 5 m ， 1 1  log m 2,  log m 5 ， a b 1 1 所以   log m 2  log m 5  log m 10  2 ， a b 2 则 m  10 ， 解得 m  10 ， 故选：C 7．B 【分析】 由零点存在性定理可得答案. 【详解】 若函数 y  ax  1 在  0,1 内恰有一个零点，因为当 x  0 时， y 1 0 所以当 x  1 时， y  a  1  0 ，即 a  1 故选：B 8．B 【分析】 列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算