1．已知 r r r {a, b, c} 空间向量与立体几何 是空间的一个基底，若 ur r r r r r r r r r r r r p  2a  b, q  2b  a, r  a  b, s  a  b  c 列可以为空间一个基底的是（ ） r ur r r ur r a, p, q b, p , q A． B． 2．如图，在平行六面体 � � � C． ABCD  A1 B1C1 D1 � r ur r r , p, q 中， M 为 D． A1C1 � � 1� 1� �  a b c B． 2 2 1� 1� � C． a  b  c 2 2 1� 1� � D． a  b  c 2 2 � ， B  2, 2, 0  ， � C  1,3,1 ，则（ � ） 1� 1� �  a b c A． 2 2 A  0,1, 0  r ur r s, p, q 与 B1 D1 的交点，若 CD  a ， CB  b ， CC1  c ，则下列向量中与 BM 相等的向量是（ 3．空间三点 ，则下 ） �  1,1, 0  A． AB 与 AC 是共线向量 B． AB 的单位向量是 55 C． AB 与 BC 夹角的余弦值 11 D．平面 ABC 的一个法向量是  1, 2,5 � � 4．给出下列命题： r � 1� r b� 2,1,  � a  1,  1, 2   2 �，则 l  m � ① 直线 l 的方向向量为 ，直线 m 的方向向量为 ② 直线 l 的方向向量为 r a   0,1, 1 ，平面  的法向量为 r n   1, 1, 1 ，则 l   . ur uu r n1   0,1,3 , n2   1, 0, 2   / / .  ,  ③ 平面 的法向量分别为 ，则 r n   1, u, t   ④ 平面 经过三点 A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量 是平面  的法向量，则 u＋t＝1. 其中真命题的序号是（ A．②③ ） B．①④ C．③④ D．①② r r 5．已知两条异面直线的方向向量分别是 u  (3, 1, 2), v  (3, 2, 1) ，则这两条异面直线 所成的角  满足（ ） A． sin   9 14 B． sin   1 4 C． cos   9 14 D． cos   1 4 6．如图，在棱长为 1 的正方体 ADD1 A1 上的一个动点，满足 o A． 75 B． 60 o uuuu r uuuu r BC1 � BM  1 o C． 45 7．在矩形 ABCD 中， AB  1 ， ABCD 所成的角为（ ） A．30° B．45° 8．正方体 ABCD  A1B1C1D1 点分别为 E ， F ， ABCD  A1 B1C1D1 G D． 30 BC  2 ， uuuu r BC1 M 是左侧面 uuuu r 与 BM 的夹角的最大值为（ AC1 2 78 C． 39 与平面 ） o PA  平面 ABCD， PA  1 C．60° 的棱上到直线 ，则直线 26 2 26 A． 13 B． 13 ，则 中，点 A1B 与 EFG CC1 ，则 PC 与平面 D．120° 3 3 的距离相等的点有 个，记这 个 所成角的正弦值为（ ） 4 78 D． 39 9．在四棱锥 P  ABCD 中， PA  平面 ABCD ， ABCD 是矩形，且 AB  3 ， AD  4 ， PA  4 3 ，则平面 与平面 的夹角为（ 5 ABD PBD 10．已知 � � � C． 60� B． 45� A． 30�  � � � e1 , e2 , e3 � �  ） � � � D． 75� � 为空间的一个基底，若 a  e1  e2  e3 ， � � � � � � � � � � � b  e1  e2  e3 ， c  e1  e2  e3 ， d  e1  2 e2  3 e3 ，且 d   a   b   c ， 则  ,  ,  分别为____. 11．如图所示平行六面体 ABCD  A1 B1C1D1 中， AB  AD  2, AA1  1, �DAB  60� , �DAA1  �BAA1  45� AC  ，则 1 ___ ________. 12．如图，在平行六面体 AA1  5 D1C1 ， ， ABCD  A1 B1C1D1 中， AB  4 ， AD  4 ， �DAB  60� �BAA1  60� �DAA1  60� C1 B1 ， ， 的中点．求证： 13．已知空间三点 （1）求向量 uuu r AB 与 MN  AC1 A  2, 0, 2  uuur AC ， ，M，N 分别为 ． B  1, 1, 2  ，  C  3,0, 4  夹角 的余弦值；（2）求向量 . uuu r AB 在向量 uuur AC r a 上的投影向量 ； （3）求点 B 到直线 AC 的距离 d . 14．如图，已知正方体 ABCD  A1 B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，BC， 的中点． （1）求证：平面 （2）求平面 A1DC1 // A1 DC1 平面 EFG； 与平面 EFG 间的距离． BB1 参考答案 1．D 【分析】 根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果. 【详解】 r 2 ur 1 r r ur r 由于 a  p  q ，可知 a, p, q 共面，所以选项 A 不能作为空间的一个基底； 3 3 r 1 ur 2 r r ur r 由于 b  p  q ，可知 b, p, q 共面，所以选项 B 不能作为空间的一个基底； 3 3 由于 假设 r ur r r  pq r ur r s, p, q ，可知 r ur r r , p, q 共面，所以选项 C 不能作为空间的一个基底； 不是空间的一组基底，即向量 r r r r r a  b  c   2x  y  a   2 y  x  b 所以 因为 共面，则存在实数 x, y x, y 的值不存在，即可向量 r ur r s, p, q 是空间的一组基底，所以选项 D 正确； 故选:D. 2．D 【分析】 � 利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出 BM 即可．. 【详解】 ABCD  A1B1C1D1 所以 M 为 B1 D1 的中点， � � � � � ，即 , 是空间的一组基底，所以 解：因为平行六面体 使得 r ur r s  x p  yq ， r r r c   2 x  y  1 a   2 y  x  1 b r r r {a , b, c} r ur r s, p, q � 因为 CD  a ， CB  b ， CC1  c ， 中， M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点 不共面，所以 r ur r s , p, q � � � � � � � 1 � 1� 1� � � � 1� BM  BB1  B1M  CC1  � CD  CB � �B1 A1  B1C1 � CC1  � � a  b  c 2� 2� 2 � � 2 所以 故选：D 3．D 【分析】 � � � 由题得 AB   2,1,0  ， AC   1, 2,1 ， BC   3,1,1 ，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】 � � � 解：根据题意得 AB   2,1,0  ， AC   1, 2,1 ， BC   3,1,1 � � � � A： 显然 AB � AC ，所以 AB 与 AC 不共线，故错误； � AB �� �2 5 5 � � 2 5 5 � , ,0 �，故错误； B： � 的单位向量为 AB ，即为 � 或 � � 5 , 5 ,0 � � 5 � � � � 5 AB � C： � cos AB, BC  � � � � AB� BC AB BC  5 55  11 5 � 11 ，故错误； � � � D：设平面 ABC 的一个法向量是 n   x, y , z  ，因为 AB   2,1,0  ， AC   1, 2,1 ，所以 uuu r r �AB � n0 � 2x  y  0 � �uuur r � ，即 n0  x  2 y  z  0 ，所以 x : y : z  1:  2  : 5 ，所以 D 正确 �AC � � 故选：D 4．B 【分析】 依据题意得到：①求数量积 r r a� b ，得到 r r a b ，即 lm ；②求数量积 r r a� n ，可得到 r r an ， ur uu r n1 n2 l �  l / /  故 或 ；③利用 与 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行， 是相交关系；④利用法向量的定义得到 r uuur r uuur n� AB  0, n � AC  0 ，解出 u 1 ， t  0 ，进而可求 解． 【详解】 r 1 r r b  1 �2  1 �1  �2  2  1  1  0 ①a� ，所以 ar  b ，即 l  m ，所以①正确． 2 ② r r a� n  0  1 �1  ( 1) � ( 1)  0 ③ 因为 uu r uu r n1 � n2  6 �0 ，且 ，所以 uu r uu r n1 �xn2 r r an ，所以  ，所以 与  l / /